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Poligoni ciclici

Inviato: 06 lug 2017, 22:07
da Vinci
Tra tutti i poligoni di $n$ lati i cui vertici giacciono tutti su una circonferenza, trovare quelli di area massima.

Re: Poligoni ciclici

Inviato: 06 lug 2017, 22:45
da Sirio
Ho capito male il problema, o è noto che la soluzione sono gli $n$-agoni regolari?

Re: Poligoni ciclici

Inviato: 07 lug 2017, 07:05
da Vinci
Non è noto, in realtà non conosco la soluzione, ma penso proprio siano quelli. Il punto è che non riesco a dimostrarlo.

Re: Poligoni ciclici

Inviato: 07 lug 2017, 14:20
da Lasker
Puoi dimostrare che se non è regolare allora non ha area massima ad esempio (è più facile di quello che sembra). Se invece vuoi un hint più meccanico mi pare una buona idea sfruttare
Testo nascosto:
Jensen

Re: Poligoni ciclici

Inviato: 07 lug 2017, 17:34
da Vinci
Ah si, credo di esserci riuscito come hai detto tu
Testo nascosto:
Dimostriamo che se non è regolare allora ne esiste un'altro con area maggiore. Un $n$-agono qualsiasi ha almeno $3$ lati. Se non è regolare allora avrà $3$ vertici consecutivi (chiamiamoli $A$, $B$ e $C$) tali che $\overline{AB} \ne \overline{BC}$. Quindi $B$ non è nel punto medio dell'arco $AC$. L'area di $\triangle{ABC}$ sarà uguale ad $\overline{AC}$ per la distanza tra la retta $AC$ e la sua parallela passante per $B$. Tale distanza è massima quando tale parallela è tangente alla circonferenza (lasciando $B$ dallo stesso lato di prima rispetto ad$ \overline{AC}$ per non modificare l'area del resto nel poligono, ma solo quella di $\triangle{ABC}$) e quindi quando $B$ si trova nel punto medio dell'arco $AC$. Spostando $B$ è possibile quindi ottenere un $n$-agono di area maggiore.
Testo nascosto:
Per quanto riguarda Jensen, non saprei proprio dove mettere mano :?:

Re: Poligoni ciclici

Inviato: 07 lug 2017, 17:48
da Drago96
Sì, quello che hai scritto funziona ;)

Per Jensen, l'idea è di suddividere l'$n$-agono in tanti spicchi collegando ogni vertice al centro, e chiamando $\theta_i$ gli angoli al centro che si vengono a formare; poi possiamo scrivere l'area di ogni triangolino in funzione del suo $\theta_i$, e adesso dovrebbe essere chiaro come usare Jensen ;)

Re: Poligoni ciclici

Inviato: 07 lug 2017, 18:39
da Vinci
Credo di averlo risolto, ma vorrei giusto un chiarimento. Le poche volte che ho visto Jensen è stato con funzioni convesse. Posso usarla su funzioni concave e invertire il verso senza problemi?

Re: Poligoni ciclici

Inviato: 07 lug 2017, 18:59
da Drago96
Certo! Puoi anche vederla così: $f$ concava $\iff -f$ convessa

Re: Poligoni ciclici

Inviato: 07 lug 2017, 19:05
da fph
Questa mi sa che l'ho già raccontata a un senior...

Teorema: 1 è il più grosso intero positivo.
Dimostrazione: dimostriamo che se $n \neq 1$ allora esiste un numero intero maggiore di $n$. Visto che, da fatti noti sulle parabole, $x^2-x>0$ per ogni $x>1$, allora $n^2>n$. Finito.

Credete a questo teorema? Cosa c'è che non va nella sua dimostrazione?
Ora riguardate la dimostrazione qui sopra; non ha esattamente la stessa struttura?

Re: Poligoni ciclici

Inviato: 07 lug 2017, 19:09
da Vinci
Ecco qui
Testo nascosto:
Innanzitutto ipotizziamo che il centro della circonferenza circoscritta sia all'interno del poligono (si può giustificare bene questa cosa un po' come nella dimostrazione che ho scritto prima). Congiungendo ogni vertice della circoscritta al centro otteniamo $n$ triangoli isosceli con lati uguali pari a $r$. Chiamiamo gli angolia al centro $\theta_i$ per $1 \le i\le n$. L'area di ogni triangolo è $A_i=\frac{1}{2}r^2\sin \theta_i$ e quella del poligono è $$A=\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{2}r^2\sin \theta_i=\frac{1}{2}r^2\sum_{i=1}^{n} \sin \theta_i$$ Per $0\le x\le \pi$ la funzione $f(x)=\sin x$ è concava e quindi vale la disuguaglianza di Jensen:$$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \le f \left( \frac{ \sum_{i=1}^{n}x_i}{n} \right) \\ \sum_{i=1}^{n} \sin(\theta_i) \le n\sin \left( \frac{ \sum_{i=1}^{n}\theta_i}{n} \right)$$ e moltiplicando per $\frac{1}{2}r^2$ e considerando che $\sum_{i=1}^{n}\theta_i=2\pi$ otteniamo $$A=\frac{1}{2}r^2\sum_{i=1}^{n} \sin \theta_i\le n \cdot \frac{1}{2}r^2\sin\left( {\frac{2\pi}{n}}\right)$$ che è proprio l'area dell' $n$-agono regolare.

Re: Poligoni ciclici

Inviato: 07 lug 2017, 19:09
da Gerald Lambeau
fph ha scritto:
07 lug 2017, 19:05
Questa mi sa che l'ho già raccontata a un senior...

Teorema: 1 è il più grosso intero positivo.
Dimostrazione: dimostriamo che se $n \neq 1$ allora esiste un numero intero maggiore di $n$. Visto che, da fatti noti sulle parabole, $x^2-x>0$ per ogni $x>1$, allora $n^2>n$. Finito.

Credete a questo teorema? Cosa c'è che non va nella sua dimostrazione?
Ora riguardate la dimostrazione qui sopra; non ha esattamente la stessa struttura?
Ah ecco, allora non mi ricordavo male, se non sbaglio anche il problema algebrico/geometrico fra quelli di miscellanea del WC di quest'anno aveva lo stesso inghippo (in una delle soluzioni proposte).
Il fatto è che
Testo nascosto:
chi mi dice che il massimo esiste? Per gli interi positivi è facile dimostrare che non è vero partendo dalla definizione, ma per i poligoni potrebbe esistere un limite superiore.
Correggetemi se ho sbagliato.

Re: Poligoni ciclici

Inviato: 07 lug 2017, 19:14
da Vinci
[quote=fph post_id=167608 time=1499447114 user_id=81
Teorema: 1 è il più grosso intero positivo.
Dimostrazione: dimostriamo che se $n \neq 1$ allora esiste un numero intero maggiore di $n$. Visto che, da fatti noti sulle parabole, $x^2-x>0$ per ogni $x>1$, allora $n^2>n$. Finito.
[/quote]
Così non avete dimostrato che $1$ è il più piccolo intero positivo? :?:
E' sbagliata la mia dimostrazione di prima?

Re: Poligoni ciclici

Inviato: 07 lug 2017, 19:17
da Gerald Lambeau
No, lui sta dicendo: se il massimo non è $1$, il massimo è maggiore di $1$, ma allora il suo quadrato sarebbe più grande del massimo stesso, assurdo, quindi il massimo è $1$.

Re: Poligoni ciclici

Inviato: 07 lug 2017, 19:29
da Vinci
Ah si, adesso ho capito. Io ho dimostrato che se non è regolare posso costruirne uno di area maggiore, ma non ho dimostrato che questa seconda area è minore di quella del poligono regolare. Domanda: se nelle ipotesi del problema c'era che quello di area massima esiste, la mia prima soluzione sarebbe stata giusta?

Re: Poligoni ciclici

Inviato: 08 lug 2017, 00:35
da fph
Esatto, se in qualche modo riesci a dire che esiste un poligono di area massima, allora quella dimostrazione si riesce a sistemare facilmente ("prendiamo un poligono non regolare; supponiamo che esso abbia area massima; costruiamone uno di area maggiore; assurdo, quindi il poligono di area massima (che deve esistere) è quello regolare").