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Jensen

Dimostriamo che se non è regolare allora ne esiste un'altro con area maggiore. Un $n$-agono qualsiasi ha almeno $3$ lati. Se non è regolare allora avrà $3$ vertici consecutivi (chiamiamoli $A$, $B$ e $C$) tali che $\overline{AB} \ne \overline{BC}$. Quindi $B$ non è nel punto medio dell'arco $AC$. L'area di $\triangle{ABC}$ sarà uguale ad $\overline{AC}$ per la distanza tra la retta $AC$ e la sua parallela passante per $B$. Tale distanza è massima quando tale parallela è tangente alla circonferenza (lasciando $B$ dallo stesso lato di prima rispetto ad$ \overline{AC}$ per non modificare l'area del resto nel poligono, ma solo quella di $\triangle{ABC}$) e quindi quando $B$ si trova nel punto medio dell'arco $AC$. Spostando $B$ è possibile quindi ottenere un $n$-agono di area maggiore.

Per quanto riguarda Jensen, non saprei proprio dove mettere mano

Innanzitutto ipotizziamo che il centro della circonferenza circoscritta sia all'interno del poligono (si può giustificare bene questa cosa un po' come nella dimostrazione che ho scritto prima). Congiungendo ogni vertice della circoscritta al centro otteniamo $n$ triangoli isosceli con lati uguali pari a $r$. Chiamiamo gli angolia al centro $\theta_i$ per $1 \le i\le n$. L'area di ogni triangolo è $A_i=\frac{1}{2}r^2\sin \theta_i$ e quella del poligono è $$A=\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{2}r^2\sin \theta_i=\frac{1}{2}r^2\sum_{i=1}^{n} \sin \theta_i$$ Per $0\le x\le \pi$ la funzione $f(x)=\sin x$ è concava e quindi vale la disuguaglianza di Jensen:$$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \le f \left( \frac{ \sum_{i=1}^{n}x_i}{n} \right) \\ \sum_{i=1}^{n} \sin(\theta_i) \le n\sin \left( \frac{ \sum_{i=1}^{n}\theta_i}{n} \right)$$ e moltiplicando per $\frac{1}{2}r^2$ e considerando che $\sum_{i=1}^{n}\theta_i=2\pi$ otteniamo $$A=\frac{1}{2}r^2\sum_{i=1}^{n} \sin \theta_i\le n \cdot \frac{1}{2}r^2\sin\left( {\frac{2\pi}{n}}\right)$$ che è proprio l'area dell' $n$-agono regolare.

chi mi dice che il massimo esiste? Per gli interi positivi è facile dimostrare che non è vero partendo dalla definizione, ma per i poligoni potrebbe esistere un limite superiore.