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Poligoni ciclici
Inviato: 06 lug 2017, 22:07
da Vinci
Tra tutti i poligoni di $n$ lati i cui vertici giacciono tutti su una circonferenza, trovare quelli di area massima.
Re: Poligoni ciclici
Inviato: 06 lug 2017, 22:45
da Sirio
Ho capito male il problema, o è noto che la soluzione sono gli $n$-agoni regolari?
Re: Poligoni ciclici
Inviato: 07 lug 2017, 07:05
da Vinci
Non è noto, in realtà non conosco la soluzione, ma penso proprio siano quelli. Il punto è che non riesco a dimostrarlo.
Re: Poligoni ciclici
Inviato: 07 lug 2017, 14:20
da Lasker
Puoi dimostrare che se non è regolare allora non ha area massima ad esempio (è più facile di quello che sembra). Se invece vuoi un hint più meccanico mi pare una buona idea sfruttare
Re: Poligoni ciclici
Inviato: 07 lug 2017, 17:34
da Vinci
Ah si, credo di esserci riuscito come hai detto tu
Re: Poligoni ciclici
Inviato: 07 lug 2017, 17:48
da Drago96
Sì, quello che hai scritto funziona
Per Jensen, l'idea è di suddividere l'$n$-agono in tanti spicchi collegando ogni vertice al centro, e chiamando $\theta_i$ gli angoli al centro che si vengono a formare; poi possiamo scrivere l'area di ogni triangolino in funzione del suo $\theta_i$, e adesso dovrebbe essere chiaro come usare Jensen
Re: Poligoni ciclici
Inviato: 07 lug 2017, 18:39
da Vinci
Credo di averlo risolto, ma vorrei giusto un chiarimento. Le poche volte che ho visto Jensen è stato con funzioni convesse. Posso usarla su funzioni concave e invertire il verso senza problemi?
Re: Poligoni ciclici
Inviato: 07 lug 2017, 18:59
da Drago96
Certo! Puoi anche vederla così: $f$ concava $\iff -f$ convessa
Re: Poligoni ciclici
Inviato: 07 lug 2017, 19:05
da fph
Questa mi sa che l'ho già raccontata a un senior...
Teorema: 1 è il più grosso intero positivo.
Dimostrazione: dimostriamo che se $n \neq 1$ allora esiste un numero intero maggiore di $n$. Visto che, da fatti noti sulle parabole, $x^2-x>0$ per ogni $x>1$, allora $n^2>n$. Finito.
Credete a questo teorema? Cosa c'è che non va nella sua dimostrazione?
Ora riguardate la dimostrazione qui sopra; non ha esattamente la stessa struttura?
Re: Poligoni ciclici
Inviato: 07 lug 2017, 19:09
da Vinci
Re: Poligoni ciclici
Inviato: 07 lug 2017, 19:09
da Gerald Lambeau
fph ha scritto: ↑07 lug 2017, 19:05
Questa mi sa che l'ho già raccontata a un senior...
Teorema: 1 è il più grosso intero positivo.
Dimostrazione: dimostriamo che se $n \neq 1$ allora esiste un numero intero maggiore di $n$. Visto che, da fatti noti sulle parabole, $x^2-x>0$ per ogni $x>1$, allora $n^2>n$. Finito.
Credete a questo teorema? Cosa c'è che non va nella sua dimostrazione?
Ora riguardate la dimostrazione qui sopra; non ha esattamente la stessa struttura?
Ah ecco, allora non mi ricordavo male, se non sbaglio anche il problema algebrico/geometrico fra quelli di miscellanea del WC di quest'anno aveva lo stesso inghippo (in una delle soluzioni proposte).
Il fatto è che
Correggetemi se ho sbagliato.
Re: Poligoni ciclici
Inviato: 07 lug 2017, 19:14
da Vinci
[quote=fph post_id=167608 time=1499447114 user_id=81
Teorema: 1 è il più grosso intero positivo.
Dimostrazione: dimostriamo che se $n \neq 1$ allora esiste un numero intero maggiore di $n$. Visto che, da fatti noti sulle parabole, $x^2-x>0$ per ogni $x>1$, allora $n^2>n$. Finito.
[/quote]
Così non avete dimostrato che $1$ è il più piccolo intero positivo?
E' sbagliata la mia dimostrazione di prima?
Re: Poligoni ciclici
Inviato: 07 lug 2017, 19:17
da Gerald Lambeau
No, lui sta dicendo: se il massimo non è $1$, il massimo è maggiore di $1$, ma allora il suo quadrato sarebbe più grande del massimo stesso, assurdo, quindi il massimo è $1$.
Re: Poligoni ciclici
Inviato: 07 lug 2017, 19:29
da Vinci
Ah si, adesso ho capito. Io ho dimostrato che se non è regolare posso costruirne uno di area maggiore, ma non ho dimostrato che questa seconda area è minore di quella del poligono regolare. Domanda: se nelle ipotesi del problema c'era che quello di area massima esiste, la mia prima soluzione sarebbe stata giusta?
Re: Poligoni ciclici
Inviato: 08 lug 2017, 00:35
da fph
Esatto, se in qualche modo riesci a dire che esiste un poligono di area massima, allora quella dimostrazione si riesce a sistemare facilmente ("prendiamo un poligono non regolare; supponiamo che esso abbia area massima; costruiamone uno di area maggiore; assurdo, quindi il poligono di area massima (che deve esistere) è quello regolare").