Inraggio+Circoraggio=Extradivertimento

Rette, triangoli, cerchi, poliedri, ...
Rispondi
Avatar utente
Lasker
Messaggi: 327
Iscritto il: 02 mag 2013, 20:47
Località: Udine

Inraggio+Circoraggio=Extradivertimento

Messaggio da Lasker » 30 giu 2017, 12:40

Sia $\triangle ABC$ un triangolo acutangolo, sia $O$ il suo circocentro, e siano $d_a,d_b$ e $d_c$ rispettivamente le distanze di $O$ dai lati $BC, CA$ e $AB$. Siano inoltre $R$ il raggio della circonferenza circoscritta ad $\triangle ABC$ e $r$ il raggio dell'inscritta.
Dimostrare che vale
$$d_a+d_b+d_c=R+r$$
"Una funzione generatrice è una corda da bucato usata per appendervi una successione numerica per metterla in mostra" (Herbert Wilf)

"La matematica è la regina delle scienze e la teoria dei numeri è la regina della matematica" (Carl Friedrich Gauss)

Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani: cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due?

PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!

matpro98
Messaggi: 401
Iscritto il: 22 feb 2014, 18:42

Re: Inraggio+Circoraggio=Extradivertimento

Messaggio da matpro98 » 30 giu 2017, 13:16

Modo abbastanza bovino
Testo nascosto:
$d_a=R \cos \alpha$ e cicliche
Testo nascosto:
$R=\dfrac {abc}{4S} $ e $r=\dfrac {S}{p} $
Testo nascosto:
$S=\sqrt {p (p-a)(p-b)(p-c)}$
Testo nascosto:
svolgere diligentemente tutti i calcoli e viene fuori un'identità

Avatar utente
Lasker
Messaggi: 327
Iscritto il: 02 mag 2013, 20:47
Località: Udine

Re: Inraggio+Circoraggio=Extradivertimento

Messaggio da Lasker » 30 giu 2017, 14:11

Avrei preferito vederli per esteso i conti, essendo come dici un metodo bovino :lol:
In ogni caso esistono anche modi non brutali di farlo (e che magari suggeriscono meglio come è stata trovata questa identità); spero che saltino fuori anche questi :)
"Una funzione generatrice è una corda da bucato usata per appendervi una successione numerica per metterla in mostra" (Herbert Wilf)

"La matematica è la regina delle scienze e la teoria dei numeri è la regina della matematica" (Carl Friedrich Gauss)

Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani: cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due?

PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!

cip999
Messaggi: 148
Iscritto il: 26 nov 2013, 14:44

Re: Inraggio+Circoraggio=Extradivertimento

Messaggio da cip999 » 30 giu 2017, 16:22

Proprio bella questa! :) Mi chiedo come mai non sia estremamente nota...
Testo nascosto:
$M_a$, $M_b$, $M_c$ punti medi dei lati
Testo nascosto:
$AM_bOM_c$ e ciclici sono ciclici (pun intended)
Testo nascosto:
Quadrilateri ciclici + lunghezze di segmenti =
Testo nascosto:
= Tolomeo!
Testo nascosto:
$\displaystyle AM_b \cdot OM_c + AM_c \cdot OM_b = AO \cdot M_bM_c \implies \frac{b}{2}d_c + \frac{c}{2}d_b = \frac{a}{2}R$ e cicliche
Testo nascosto:
Sarebbe bello sommarle tutte e tre, ma in questo modo $d_a$, $d_b$ e $d_c$ avrebbero coefficienti diversi
Testo nascosto:
$\displaystyle \frac{a}{2}d_a + \frac{b}{2}d_b + \frac{c}{2}d_c = S$, e ora sommiamo questa uguaglianza insieme alle tre di prima
Testo nascosto:
$p(d_a + d_b + d_c)
= pR + S$, divido per $p$ e uso $r = S/p$
- E cosa c'è di peggio del suicidio?
- La vita.

Avatar utente
Lasker
Messaggi: 327
Iscritto il: 02 mag 2013, 20:47
Località: Udine

Re: Inraggio+Circoraggio=Extradivertimento

Messaggio da Lasker » 30 giu 2017, 16:30

È proprio la strada carina che ci tenevo saltasse fuori, bravo cip!
"Una funzione generatrice è una corda da bucato usata per appendervi una successione numerica per metterla in mostra" (Herbert Wilf)

"La matematica è la regina delle scienze e la teoria dei numeri è la regina della matematica" (Carl Friedrich Gauss)

Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani: cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due?

PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!

Rispondi

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 4 ospiti