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Allineamento a quattro

Inviato: 28 giu 2017, 17:58
da Gerald Lambeau
Siano $\omega_1, \omega_2$ due circonferenza che si incontrano in $P$ e in $Q$. Siano $AC$ e $BD$ due corde appartenenti rispettivamente a $\omega_1$ e $\omega_2$ e tali che $AB \cap CD=P$. Sia inoltre $AC \cap BD=X$. Sia $Y \in \omega_1$ tale che $PY \, // \, BD$ e sia $Z \in \omega_2$ tale che $PZ \, // \, AC$. Dimostrare che $X, Y, Z, Q$ sono allineati.

Re: Allineamento a quattro

Inviato: 18 ago 2017, 12:27
da Sirio
Ma... Ho capito male io o i punti $B,C,P,X$ coincidono?

Re: Allineamento a quattro

Inviato: 18 ago 2017, 12:50
da matpro98
Hai capito male tu. Ricontrolla le definizioni ;)

Re: Allineamento a quattro

Inviato: 18 ago 2017, 21:34
da Sirio
Ricontrollato, hai ragione

Re: Allineamento a quattro

Inviato: 19 ago 2017, 20:16
da Davide Di Vora
Notiamo anzitutto che $Q$ è il punto di Miquel del quadrilatero completo formato dalle rette $AC$, $BD$, $CD$, $AB$ e $CD$, questo perché tale punto si deve trovare sulle circoscritte di $\triangle ACP$ e di $\triangle BDP$, ma non può essere $P$ perché si deve trovare anche sulle circoscritte di $\triangle XCD$ e di $\triangle ABX$ ma i punti $A$, $P$, $B$ sono allineati. Ne segue che $XAQB$ e $XCQD$ sono ciclici.

Sfruttando le ciclicità otteniamo
$$\angle PYQ=\angle PCQ=\angle DCQ=\angle BXQ$$
e quindi visto che $PY\parallel BX$ otteniamo che $Y\in XQ$.

Analogamente si dimostra che $Z\in XQ$ e quindi si ha la tesi.

Re: Allineamento a quattro

Inviato: 24 ago 2017, 08:58
da Gerald Lambeau
Sì, direi che è giusta! :)