Allineamento a quattro

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Gerald Lambeau
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Allineamento a quattro

Messaggio da Gerald Lambeau » 28 giu 2017, 17:58

Siano $\omega_1, \omega_2$ due circonferenza che si incontrano in $P$ e in $Q$. Siano $AC$ e $BD$ due corde appartenenti rispettivamente a $\omega_1$ e $\omega_2$ e tali che $AB \cap CD=P$. Sia inoltre $AC \cap BD=X$. Sia $Y \in \omega_1$ tale che $PY \, // \, BD$ e sia $Z \in \omega_2$ tale che $PZ \, // \, AC$. Dimostrare che $X, Y, Z, Q$ sono allineati.
"Non ho rispetto per i miei superiori, figurati se ho rispetto per i miei pari: il rispetto di un uomo lo merita solo chi è a lui inferiore."
Cit. Marco (mio vero nome)

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Ci sono cose che non si possono confutare; per tutto il resto, c'è la fisica.

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Sirio
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Re: Allineamento a quattro

Messaggio da Sirio » 18 ago 2017, 12:27

Ma... Ho capito male io o i punti $B,C,P,X$ coincidono?
シリオ
$T=\sqrt{\dfrac l g 12\pi}$

matpro98
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Re: Allineamento a quattro

Messaggio da matpro98 » 18 ago 2017, 12:50

Hai capito male tu. Ricontrolla le definizioni ;)

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Sirio
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Re: Allineamento a quattro

Messaggio da Sirio » 18 ago 2017, 21:34

Ricontrollato, hai ragione
シリオ
$T=\sqrt{\dfrac l g 12\pi}$

Davide Di Vora
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Re: Allineamento a quattro

Messaggio da Davide Di Vora » 19 ago 2017, 20:16

Notiamo anzitutto che $Q$ è il punto di Miquel del quadrilatero completo formato dalle rette $AC$, $BD$, $CD$, $AB$ e $CD$, questo perché tale punto si deve trovare sulle circoscritte di $\triangle ACP$ e di $\triangle BDP$, ma non può essere $P$ perché si deve trovare anche sulle circoscritte di $\triangle XCD$ e di $\triangle ABX$ ma i punti $A$, $P$, $B$ sono allineati. Ne segue che $XAQB$ e $XCQD$ sono ciclici.

Sfruttando le ciclicità otteniamo
$$\angle PYQ=\angle PCQ=\angle DCQ=\angle BXQ$$
e quindi visto che $PY\parallel BX$ otteniamo che $Y\in XQ$.

Analogamente si dimostra che $Z\in XQ$ e quindi si ha la tesi.

Gerald Lambeau
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Re: Allineamento a quattro

Messaggio da Gerald Lambeau » 24 ago 2017, 08:58

Sì, direi che è giusta! :)
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