Facciamo un inversione di centro $A$ e di raggio $r=\sqrt{AB*AC}$ e successivamente una simmetria lungo la bisettrice di $B\widehat{A}C$.
Chiamando $P'$ ogni punto $P$ dopo la trasformazione, abbiamo che:
- $B'$ va in $C$ e viceversa;
- $B'C'$ va nella circoscritta ad $\triangle ABC$ e viceversa;
- la retta $AP'$, essendo $AP$ la simmediana di $\triangle ABC$, va nella mediana di $\triangle AB'C'$;
- $D'$, essendo $D$ l'intersezione di $BC$ e $AP$, andrà nell'intersezione di $AP'$ e di $\circ AB'C'$;
- la retta $ED$, essendo una retta non passante per il centro di inversione andrà in una circonferenza passante per $A$, inoltre essendo parallela ad $AB$, si incontra con essa solo nel punto all'infinito (che dopo l'inversione sta in $A$), quindi andrà in una circonferenza tangente ad $AB'$ in $A$ passante per $D'$;
- ugualmente la retta $FD$ andrà in una circonferenza tangente ad $AC'$ in $A$ passante per $D'$;
Chiamando $M$ l'intersezione fra $AD'$ e $B'C'$, abbiamo che $MB'=MC'$ perchè $AD'$ è la mediana di $\triangle AB'C'$.
Applicando il teorema dei seni ai triangoli $\triangle AB'M$ e $\triangle AC'M$, abbiamo che:
$\dfrac{AB'}{\sin{A\widehat{M}B'}}=\dfrac{MB'}{\sin{M\widehat{A}B'}} \longrightarrow AB'*\sin{M\widehat{A}B'}=MB'*\sin{A\widehat{M}B'}$
$\dfrac{AC'}{\sin{A\widehat{M}C'}}=\dfrac{MC'}{\sin{M\widehat{A}C'}} \longrightarrow AC'*\sin{M\widehat{A}C'}=MC'*\sin{A\widehat{M}C'}$
$AB'*\sin{M\widehat{A}B'}=MB'*\sin{A\widehat{M}B=MC'*\sin{(180-A\widehat{M}C')}=MC'*\sin{A\widehat{M}C'}'} = AC'*\sin{M\widehat{A}C'}$
$\dfrac{AB'}{AC'}=\dfrac{\sin{M\widehat{A}C'}}{\sin{M\widehat{A}B'}}$
Ricordando che le rette $AB'$ e $AC'$ sono rispettivamente tangenti alle circonferenze $\circ AD'E'$ e $\circ AD'F'$:
$A\widehat{D'}E'=E'\widehat{A}(AB')=F'\widehat{A}(AC')=A\widehat{D'}F'$
$A\widehat{E'}D'=D'\widehat{A}B'$
$A\widehat{F'}D'=D'\widehat{A}C'$
Ora applichiamo il teorema dei seni ai triangoli $\triangle AD'E'$ e $\triangle AD'F'$:
$\dfrac{AE'}{\sin{A\widehat{D'}E'}}=\dfrac{AD'}{\sin{A\widehat{E'}D'}} \longrightarrow AE'*\sin{A\widehat{E'}D'}=AD'*\sin{A\widehat{D'}E'}$
$\dfrac{AF'}{\sin{A\widehat{D'}F'}}=\dfrac{AD'}{\sin{A\widehat{F'}D'}} \longrightarrow AF'*\sin{A\widehat{F'}D'}=AD'*\sin{A\widehat{D'}F'}$
$AE'*\sin{D'\widehat{A}B'}=AE'*\sin{A\widehat{E'}D'}=AD'*\sin{A\widehat{D'}E'}=AD'*\sin{A\widehat{D'}F'}=AF'*\sin{A\widehat{F'}D'}=AF'*\sin{D'\widehat{A}C'}$
$\dfrac{AE'}{AF'}=\dfrac{\sin{D'\widehat{A}C'}}{\sin{D'\widehat{A}B'}}$
Unendo questa uguaglianza e quella trovata precedentemente abbiamo:
$\dfrac{AE'}{AF'}=\dfrac{\sin{D'\widehat{A}C'}}{\sin{D'\widehat{A}B'}}=\dfrac{\sin{M\widehat{A}C'}}{\sin{M\widehat{A}B'}}=\dfrac{AB'}{AC'}$
Ricordando che, per la definizione di inversione, si ha $AP=\dfrac{r^2}{AP'}$, abbiamo che:
$\dfrac{AF}{AE}=\dfrac{\dfrac{r^2}{AF'}}{\dfrac{r^2}{AE'}}=\dfrac{AE'}{AF'}=\dfrac{AB'}{AC'}=\dfrac{\dfrac{r^2}{AC'}}{\dfrac{r^2}{AB'}}=\dfrac{AC}{AB}$
Dato che i lati sono in rapporto e l'angolo $\widehat{A}$ è in comune, abbiamo che i triangoli $\triangle ABC$ e $\triangle AEF$ sono simili, in particolare $A\widehat{B}C=A\widehat{E}F$, quindi $A\widehat{B}C+C\widehat{E}F=A\widehat{B}C+(180°-A\widehat{E}F)=180°$, perciò $BCEF$ è ciclico.