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vEry badLy naMed cOntest

Inviato: 12 giu 2017, 14:15
da Federico II
ELMO 2017 problema 2. Se volete partecipare alla gara e non lo avete ancora fatto, non leggete questo testo.
Testo nascosto:
Sia $ABC$ un triangolo con ortocentro $H$, e sia $M$ il punto medio di $BC$. Siano $P$ e $Q$ due punti distinti sulla circonferenza di diametro $AH$, diversi da $A$, tali che $M$ giace sulla retta $PQ$. Dimostrare che l'ortocentro di $APQ$ giace sulla circonferenza circoscritta ad $ABC$.

Re: vEry badLy naMed cOntest

Inviato: 12 giu 2017, 14:21
da Talete
E così quest'anno ELMO sta per vEry badLy naMed cOntest eh? Non sanno più cosa inventarsi insomma... preferivo Everybody Lives at Most Once, sinceramente :)

Re: vEry badLy naMed cOntest

Inviato: 12 giu 2017, 15:54
da Talete
Fare i conti in baricentriche e poi ricaricare la pagina perdendoli tutti: fatto. #mainagioia

Re: vEry badLy naMed cOntest

Inviato: 12 giu 2017, 18:07
da cip999
Testo nascosto:
Detto $S$ il punto medio di $PQ$, l'ortocentro di $APQ$ è il simmetrico di $H$ rispetto a $S$, il che significa che $H(APQ) \in \odot ABC$ iff $S$ sta sulla Feuerbach. E questo è vero perché, detto $N$ il punto medio di $AH$, $MN$ è diametro (della Feuerbach) e $NSM = 90^{\circ}$ dato che $N$ è il centro di $\odot APQ$.

Re: vEry badLy naMed cOntest

Inviato: 12 giu 2017, 18:17
da Federico II
Ok, decisamente meglio dell'eventuale soluzione di Talete.
Ora vado a deprimermi.
Testo nascosto:
In gara ho provato per circa un'ora e mezza inversioni assurde, poi sono passato al 3, e dopo un'ora a vuoto sono tornato qui e ho avuto subito l'idea giusta, ma poi per concludere invece di notare che $MN$ è diametro mi sono messo a dimostrare che $MH_B$ e $MH_C$ tangono $\odot APQ$

Re: vEry badLy naMed cOntest

Inviato: 12 giu 2017, 18:31
da Talete
Federico II ha scritto:
12 giu 2017, 18:17
Ok, decisamente meglio dell'eventuale soluzione di Talete.
Non ti piacciono cose tipo $\sqrt{\lambda S_A+S_C}$?