Funzione moltiplicativa inscritta

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Talete
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Funzione moltiplicativa inscritta

Messaggio da Talete » 06 giu 2017, 00:21

Sia $\varphi:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}$ una funzione tale che, per ogni tetraedro $ABCD$, se $I$ è il centro della sfera inscritta ad $ABCD$, allora
\[\varphi(I)=\varphi(A)\cdot\varphi(B)\cdot\varphi(C )\cdot\varphi(D).\]

(a) Dimostrare che $\varphi(X)^2=1$ per ogni punto $X$ dello spazio.
(b) Dimostrare che $\varphi(X)=1$ per ogni punto $X$ dello spazio.

EDIT: non sapevo se fosse algebra, combinatoria o geometria... volevo metterlo in teoria dei numeri per sicurezza, ma alla fine l'ho messo qua.
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Re: Funzione moltiplicativa inscritta

Messaggio da FloatingPoint » 06 giu 2017, 07:19

Il tetraedro può essere degenere?

Talete
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Re: Funzione moltiplicativa inscritta

Messaggio da Talete » 06 giu 2017, 07:31

Non lo so... si può dimostrare anche senza usare nessun tetraedro degenere, quindi assumiamo che non lo sia
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Re: Funzione moltiplicativa inscritta

Messaggio da FloatingPoint » 06 giu 2017, 10:33

Scusa il nitpicking, ma credo che [math] funzioni... Forse la funzione non è mai nulla?

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Re: Funzione moltiplicativa inscritta

Messaggio da FloatingPoint » 06 giu 2017, 10:47

Supponendo vero il mio nitpick, procedo a risolvere.
Soluzione punto (a):
Testo nascosto:
Sia [math] un tetraedro regolare centrato in un generico punto [math] e siano [math] e cicliche gli incentri di [math] e cicliche.
Per simmetria [math] è l'incentro di [math], quindi si ha:
[math]
Da cui: per ogni [math] si ha [math] e la tesi.
Soluzione punto (b):
Testo nascosto:
Partendo dal punto (a), siano [math] e cicliche gli incentri di [math] e cicliche.
Per simmetria [math] è l'incentro di [math], quindi si ha:
[math]
Da cui: per ogni [math] si ha [math] e la tesi.

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Re: Funzione moltiplicativa inscritta

Messaggio da Talete » 06 giu 2017, 13:36

Corretta!

Sì, era $\varphi(X)\neq0$ sempre...
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Re: Funzione moltiplicativa inscritta

Messaggio da fph » 06 giu 2017, 15:07

Come ipotesi aggiuntiva avete supposto "$\varphi(X)\neq 0$ per tutti gli $X$", ma in realtà si riesce a concludere anche con la più debole "$\varphi$ non è la funzione nulla" (ossia: esiste $X$ tale che $\varphi(X)\neq 0$".

Ovvero: occhio che la negazione di "$\varphi$ è la funzione nulla" non è "$\varphi$ non si annulla mai". O, per citare il poeta, "occhio al mistone".
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