Sia $\varphi:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}$ una funzione tale che, per ogni tetraedro $ABCD$, se $I$ è il centro della sfera inscritta ad $ABCD$, allora
\[\varphi(I)=\varphi(A)\cdot\varphi(B)\cdot\varphi(C )\cdot\varphi(D).\]
(a) Dimostrare che $\varphi(X)^2=1$ per ogni punto $X$ dello spazio.
(b) Dimostrare che $\varphi(X)=1$ per ogni punto $X$ dello spazio.
EDIT: non sapevo se fosse algebra, combinatoria o geometria... volevo metterlo in teoria dei numeri per sicurezza, ma alla fine l'ho messo qua.
Funzione moltiplicativa inscritta
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Re: Funzione moltiplicativa inscritta
Il tetraedro può essere degenere?
Re: Funzione moltiplicativa inscritta
Non lo so... si può dimostrare anche senza usare nessun tetraedro degenere, quindi assumiamo che non lo sia
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Re: Funzione moltiplicativa inscritta
Scusa il nitpicking, ma credo che [math] funzioni... Forse la funzione non è mai nulla?
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Re: Funzione moltiplicativa inscritta
Supponendo vero il mio nitpick, procedo a risolvere.
Soluzione punto (a):
Soluzione punto (b):
Soluzione punto (a):
Testo nascosto:
Testo nascosto:
Re: Funzione moltiplicativa inscritta
Corretta!
Sì, era $\varphi(X)\neq0$ sempre...
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Re: Funzione moltiplicativa inscritta
Come ipotesi aggiuntiva avete supposto "$\varphi(X)\neq 0$ per tutti gli $X$", ma in realtà si riesce a concludere anche con la più debole "$\varphi$ non è la funzione nulla" (ossia: esiste $X$ tale che $\varphi(X)\neq 0$".
Ovvero: occhio che la negazione di "$\varphi$ è la funzione nulla" non è "$\varphi$ non si annulla mai". O, per citare il poeta, "occhio al mistone".
Ovvero: occhio che la negazione di "$\varphi$ è la funzione nulla" non è "$\varphi$ non si annulla mai". O, per citare il poeta, "occhio al mistone".
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]