Coniugati a perdita d'occhio
-
- Messaggi: 22
- Iscritto il: 18 lug 2016, 20:34
Coniugati a perdita d'occhio
Sia [math] un triangolo. Sia [math] la retta per [math] parallela a [math]. Definiamo analogamente [math]. Sia allora [math]. Definiamo allo stesso modo [math]. Siano P il punto tale che [math] e Q il punto tale che [math]. Infine sia [math] il coniugato isotomico del coniugato isogonale del baricentro di [math] (definendo i coniugati rispetto a questo triangolo).
Dimostrare che [math].
Dimostrare che [math].
Re: Coniugati a perdita d'occhio
Testo nascosto:
-
- Messaggi: 22
- Iscritto il: 18 lug 2016, 20:34
Re: Coniugati a perdita d'occhio
Risolvo il problema mediante l'ausilio delle coordinate baricentriche.
Triangolo di riferimento $A'B'C'$, quindi $A'=[1:0:0]$, $B'=[0:1:0]$, $C'=[0:0:1]$ e inoltre $a=B'C'$, $b=C'A'$ e $c=A'B'$.
$P$ e $Q$ sono il primo e secondo punto di Brocard di $A'B'C'$ e hanno quindi coordinate $[c^2a^2:a^2b^2:b^2c^2]$ e $[a^2b^2:b^2c^2:c^2a^2]$. Questo lo darei per noto, altrimenti si può usare il teorema di Conway e il fatto che $\cot\omega=\cot\alpha+\cot\beta+\cot\gamma$, dove $\omega$ è l'angolo di Brocard.
Il punto medio tra $P$ e $Q$ ha coordinate $[a^2(b^2+c^2):b^2(c^2+a^2):c^2(a^2+b^2)]$.
$ABC$ sembra davvero il triangolo mediale di $A'B'C'$, quindi a meno che io sia completamente deficiente, $A=[0:1:1]$, $B=[1:0:1]$ e $C=[1:1:0]$.
Il baricentro di $ABC$ è dunque $[1:1:1]$. Il coniugato isogonale del suo coniugato isotomico rispetto ad $ABC$ sarebbe, vettorialmente, dato che i lati di $ABC$ sono metà dei lati di $A'B'C'$:
\[T=\frac{b^2c^2 A+c^2a^2 B+a^2b^2 C}{4(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}.\]
Scrivendo questo in funzione di $A'$, $B'$ e $C'$ (usando $2A=B'+C'$ e cicliche) si ottiene il punto $T$ voluto.
Okay ho fatto i conti un po' veloci ma il procedimento è questo.
EDIT: corretti un paio di typo nei punti di Brocard
Triangolo di riferimento $A'B'C'$, quindi $A'=[1:0:0]$, $B'=[0:1:0]$, $C'=[0:0:1]$ e inoltre $a=B'C'$, $b=C'A'$ e $c=A'B'$.
$P$ e $Q$ sono il primo e secondo punto di Brocard di $A'B'C'$ e hanno quindi coordinate $[c^2a^2:a^2b^2:b^2c^2]$ e $[a^2b^2:b^2c^2:c^2a^2]$. Questo lo darei per noto, altrimenti si può usare il teorema di Conway e il fatto che $\cot\omega=\cot\alpha+\cot\beta+\cot\gamma$, dove $\omega$ è l'angolo di Brocard.
Il punto medio tra $P$ e $Q$ ha coordinate $[a^2(b^2+c^2):b^2(c^2+a^2):c^2(a^2+b^2)]$.
$ABC$ sembra davvero il triangolo mediale di $A'B'C'$, quindi a meno che io sia completamente deficiente, $A=[0:1:1]$, $B=[1:0:1]$ e $C=[1:1:0]$.
Il baricentro di $ABC$ è dunque $[1:1:1]$. Il coniugato isogonale del suo coniugato isotomico rispetto ad $ABC$ sarebbe, vettorialmente, dato che i lati di $ABC$ sono metà dei lati di $A'B'C'$:
\[T=\frac{b^2c^2 A+c^2a^2 B+a^2b^2 C}{4(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}.\]
Scrivendo questo in funzione di $A'$, $B'$ e $C'$ (usando $2A=B'+C'$ e cicliche) si ottiene il punto $T$ voluto.
Okay ho fatto i conti un po' veloci ma il procedimento è questo.
EDIT: corretti un paio di typo nei punti di Brocard
Ultima modifica di Talete il 05 giu 2017, 19:54, modificato 1 volta in totale.
"Sei il Ballini della situazione" -- Nikkio
"Meriti la menzione di sdegno" -- troppa gente
"Sei arrivato 69esimo? Ottima posizione!" -- Andrea M. (che non è Andrea Monti, come certa gente pensa)
"Se ti interessa stanno inventando le baricentriche elettroniche, che dovrebbero aiutare a smettere..." -- Bernardo
"Meriti la menzione di sdegno" -- troppa gente
"Sei arrivato 69esimo? Ottima posizione!" -- Andrea M. (che non è Andrea Monti, come certa gente pensa)
"Se ti interessa stanno inventando le baricentriche elettroniche, che dovrebbero aiutare a smettere..." -- Bernardo
- Gerald Lambeau
- Messaggi: 335
- Iscritto il: 17 mag 2015, 13:32
- Località: provincia di Lucca
Re: Coniugati a perdita d'occhio
Ah, questi fatti noti della sintetica!
"If only I could be so grossly incandescent!"
Re: Coniugati a perdita d'occhio
No ma è vero spero... sennò basta calcolare il punto all'infinito dei lati, che è tipo $[-1:0:1]$ e cicliche e trovare la retta che passa per quello e per un vertice, poi intersecare due rette e invertire la formula. Oppure aspettare che il vicino di banco ti illumini con altri fatti sintetici.
"Sei il Ballini della situazione" -- Nikkio
"Meriti la menzione di sdegno" -- troppa gente
"Sei arrivato 69esimo? Ottima posizione!" -- Andrea M. (che non è Andrea Monti, come certa gente pensa)
"Se ti interessa stanno inventando le baricentriche elettroniche, che dovrebbero aiutare a smettere..." -- Bernardo
"Meriti la menzione di sdegno" -- troppa gente
"Sei arrivato 69esimo? Ottima posizione!" -- Andrea M. (che non è Andrea Monti, come certa gente pensa)
"Se ti interessa stanno inventando le baricentriche elettroniche, che dovrebbero aiutare a smettere..." -- Bernardo
- Gerald Lambeau
- Messaggi: 335
- Iscritto il: 17 mag 2015, 13:32
- Località: provincia di Lucca
Re: Coniugati a perdita d'occhio
Ma sì che è vero XD. Ho capito, farò uno sforzo per venire ai prossimi stage solo per evitarti paure e conti inutili quando basterebbe la geometria di base.
"If only I could be so grossly incandescent!"
Re: Coniugati a perdita d'occhio
Ti voglio bene <3Gerald Lambeau ha scritto: ↑05 giu 2017, 20:14 Ma sì che è vero XD. Ho capito, farò uno sforzo per venire ai prossimi stage solo per evitarti paure e conti inutili quando basterebbe la geometria di base.
"Sei il Ballini della situazione" -- Nikkio
"Meriti la menzione di sdegno" -- troppa gente
"Sei arrivato 69esimo? Ottima posizione!" -- Andrea M. (che non è Andrea Monti, come certa gente pensa)
"Se ti interessa stanno inventando le baricentriche elettroniche, che dovrebbero aiutare a smettere..." -- Bernardo
"Meriti la menzione di sdegno" -- troppa gente
"Sei arrivato 69esimo? Ottima posizione!" -- Andrea M. (che non è Andrea Monti, come certa gente pensa)
"Se ti interessa stanno inventando le baricentriche elettroniche, che dovrebbero aiutare a smettere..." -- Bernardo
- Gerald Lambeau
- Messaggi: 335
- Iscritto il: 17 mag 2015, 13:32
- Località: provincia di Lucca
Re: Coniugati a perdita d'occhio
Lo so <3 (cit.).Talete ha scritto: ↑05 giu 2017, 20:14Ti voglio bene <3Gerald Lambeau ha scritto: ↑05 giu 2017, 20:14 Ma sì che è vero XD. Ho capito, farò uno sforzo per venire ai prossimi stage solo per evitarti paure e conti inutili quando basterebbe la geometria di base.
Ora però basta, o andiamo troppo OT.
"If only I could be so grossly incandescent!"
Re: Coniugati a perdita d'occhio
Uffa. Allora rilancio!Gerald Lambeau ha scritto: ↑05 giu 2017, 20:16Lo so <3 (cit.).Talete ha scritto: ↑05 giu 2017, 20:14Ti voglio bene <3Gerald Lambeau ha scritto: ↑05 giu 2017, 20:14 Ma sì che è vero XD. Ho capito, farò uno sforzo per venire ai prossimi stage solo per evitarti paure e conti inutili quando basterebbe la geometria di base.
Ora però basta, o andiamo troppo OT.
Dimostrare che $PO=QO$, dove $O$ è il circocentro di $A'B'C'$.
"Sei il Ballini della situazione" -- Nikkio
"Meriti la menzione di sdegno" -- troppa gente
"Sei arrivato 69esimo? Ottima posizione!" -- Andrea M. (che non è Andrea Monti, come certa gente pensa)
"Se ti interessa stanno inventando le baricentriche elettroniche, che dovrebbero aiutare a smettere..." -- Bernardo
"Meriti la menzione di sdegno" -- troppa gente
"Sei arrivato 69esimo? Ottima posizione!" -- Andrea M. (che non è Andrea Monti, come certa gente pensa)
"Se ti interessa stanno inventando le baricentriche elettroniche, che dovrebbero aiutare a smettere..." -- Bernardo
- Gerald Lambeau
- Messaggi: 335
- Iscritto il: 17 mag 2015, 13:32
- Località: provincia di Lucca
Re: Coniugati a perdita d'occhio
Viene (ovviamente) in conti.
Testo nascosto:
"If only I could be so grossly incandescent!"
Re: Coniugati a perdita d'occhio
GesùTalete ha scritto: ↑05 giu 2017, 19:53
No ma è vero spero... sennò basta calcolare il punto all'infinito dei lati, che è tipo $[-1:0:1]$ e cicliche e trovare la retta che passa per quello e per un vertice, poi intersecare due rette e invertire la formula. Oppure aspettare che il vicino di banco ti illumini con altri fatti sintetici.
"Signora, lei sì che ha le palle, mica come quella checca di suo figlio"
"La zuppa magica dedicata a te Gianluca"
"È "iamo", non rompere i coglioni"
"La zuppa magica dedicata a te Gianluca"
"È "iamo", non rompere i coglioni"
Re: Coniugati a perdita d'occhio
Corretta! Io l'avevo fatto in baricentriche con la formula della distanza
Rilancio ulteriormente (su Brocard c'è un sacco di fatti noti, btw): Sia $L$ il punto di Lemoine di $A'B'C'$. Dimostrare che $PL=QL$ e che $\angle OPL=\angle OQL=\pi/2$.
Troppe baricentriche fanno male, lo so, ma sono dipendente.
"Sei il Ballini della situazione" -- Nikkio
"Meriti la menzione di sdegno" -- troppa gente
"Sei arrivato 69esimo? Ottima posizione!" -- Andrea M. (che non è Andrea Monti, come certa gente pensa)
"Se ti interessa stanno inventando le baricentriche elettroniche, che dovrebbero aiutare a smettere..." -- Bernardo
"Meriti la menzione di sdegno" -- troppa gente
"Sei arrivato 69esimo? Ottima posizione!" -- Andrea M. (che non è Andrea Monti, come certa gente pensa)
"Se ti interessa stanno inventando le baricentriche elettroniche, che dovrebbero aiutare a smettere..." -- Bernardo
-
- Messaggi: 78
- Iscritto il: 23 mag 2015, 18:27
Re: Coniugati a perdita d'occhio
AHAHAHAHAH hai vinto tuttobern-1-16-4-13 ha scritto: ↑07 giu 2017, 15:43Se ti interessa stanno inventando le baricentriche elettroniche, che dovrebbero aiutare a smettere...
Ma io non voglio smettere
"Sei il Ballini della situazione" -- Nikkio
"Meriti la menzione di sdegno" -- troppa gente
"Sei arrivato 69esimo? Ottima posizione!" -- Andrea M. (che non è Andrea Monti, come certa gente pensa)
"Se ti interessa stanno inventando le baricentriche elettroniche, che dovrebbero aiutare a smettere..." -- Bernardo
"Meriti la menzione di sdegno" -- troppa gente
"Sei arrivato 69esimo? Ottima posizione!" -- Andrea M. (che non è Andrea Monti, come certa gente pensa)
"Se ti interessa stanno inventando le baricentriche elettroniche, che dovrebbero aiutare a smettere..." -- Bernardo