Deliri di Mezzanotte

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Talete
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Deliri di Mezzanotte

Messaggio da Talete » 17 apr 2017, 23:46

Sia $ABC$ un triangolo.

Per un qualsiasi punto $P$ interno al triangolo, siano:
• $\Gamma_P$ la circonferenza passante per $B$, $C$ e $P$;
• $\Omega_P$ la circonferenza di diametro $AP$;
• $X_P$ la seconda intersezione tra $\Gamma_P$ e $\Omega_P$ (oltre a $P$);
• $Y_P$ la seconda intersezione tra $AX_P$ e $\Gamma_P$ (oltre a $X_P$).

Richieste sotto spoiler per non hintare:
Testo nascosto:
Problema 1: Siano $O$ e $H$ rispettivamente circocentro e ortocentro di $ABC$. Dimostrare che $X_OX_H$ è parallela a $Y_OY_H$.
Testo nascosto:
Problema 2 (generalizzato): Siano $P$ e $Q$ due coniugati isogonali in $ABC$. Dimostrare che $X_PX_Q$ è parallela a $Y_PY_Q$.
Testo nascosto:
Problema 3 (sarà vero?): Siano $P$ e $Q$ due punti in $ABC$ tali per cui $X_PX_Q$ è parallela a $Y_PY_Q$. Dimostrare che $P$ e $Q$ sono coniugati isogonali.
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Federico II
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Re: Deliri di Mezzanotte

Messaggio da Federico II » 24 apr 2017, 23:52

Faccio a grandi linee il 2, che implica l'1. Il 3 dovrebbe essere falso (dovrei averlo verificato con geogebra).
Testo nascosto:
Vogliamo dimostrare che la consueta inversione di centro $A$ e raggio $\sqrt{AB\cdot AC}$ + simmetria rispetto alla bisettrice dell'angolo in $A$ manda $X_P$ in $Y_Q$ (e analogamente $X_Q$ in $Y_P$). Così si ha $AX_P\cdot AY_Q=AB\cdot AC=AX_Q\cdot AY_P$,
quindi $\frac{AX_P}{AX_Q}=\frac{AY_P}{AY_Q}$ e per Talete segue la tesi.
Con un conto di angoli si vede che il trasformato di un punto giace sulla circonferenza passante per $B$, $C$ e il suo coniugato isogonale (non sto qui a riportarlo, si usa il fatto che in un'inversione gli angoli di incidenza si conservano e viene subito). Quindi il trasformato $P'$ di $P$ giace sulla circonferenza per $B$, $C$, $Q$. La circonferenza di diametro $AP$ va nella perpendicolare ad $AP'$ per $P'$, quindi $X_P$ va nel diametralmente opposto a $Q$ nella circoscritta a $BCQ$, che è proprio $Y_Q$ visto che $QX_Q$ e $AX_Q$ sono perpendicolari.
Nota aggiuntiva: i punti $X_P$ e $X_Q$ risultano anch'essi coniugati isogonali, e così anche $Y_P$ e $Y_Q$. Nel caso di ortocentro e circocentro (problema 1) le rette su cui giacciono sono mediana e simmediana,
e i punti $Y_H$ e $Y_O$ sono rispettivamente il simmetrico di $A$ rispetto al punto medio di $BC$ e l'intersezione delle tangenti in $B$ e $C$ alla circoscritta (il punto del lemma della simmediana).
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Talete
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Re: Deliri di Mezzanotte

Messaggio da Talete » 25 apr 2017, 12:22

Testo nascosto:
Yes, giusto! Il problema 3 aveva l'aria di una cosa che poteva essere falsa, ecco quindi basta tramutare il testo in "è vero che...?"

Oltre a quello che hai detto tu, i punti $X_H$ e $X_O$ sono anche loro "speciali": $X_O$ è il punto medio della simmediana e, detta $K$ l'intersezione della simmediana con la circoscritta ad $ABC$, $X_H$ è il simmetrico di $K$ rispetto a $BC$.

Il problema comunque veniva anche in baricentriche... :)
EDIT: uhuh messaggio numero 500

EDIT 2:
Federico II ha scritto:
24 apr 2017, 23:52
per Talete
Insomma tutto merito mio
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