Consideriamo un quadrilatero convesso $ABCD$ e fissiamo otto punti $E,F,G,H,I,L,M,N$ all'interno dei lati, in modo che lungo il perimetro del quadrilatero i punti $A,E,F,B,G,H,C,I,L,D,M,N,A$ appaiano in quest'ordine. Tracciando le rette $EL,FI,GN,HM$ dividiamo il quadrilatero $ABCD$ in nove quadrilateri convessi più piccoli: si tratta più o meno di una griglia $3\times 3$. Dimostrare che se i primi otto di questi nove quadrilateri hanno le diagonali perpendicolari tra loro, allora anche il nono (che è quello che ha D tra i suoi vertici) ha la stessa proprietà.
Se il problema risultasse troppo difficile, potete sempre dimostrare e usare questo lemma, che altro non è che il problema 6 dell'ultimo RMM!
Sia $ABCD$ un quadrilatero convesso e siano $P$, $Q$, $R$, $S$ punti sui segmenti $AB$, $BC$, $CD$ e $DA$ rispettivamente. I segmenti $PR$ e $QS$ suddividono $ABCD$ in quattro quadrilateri, ognuno dei quali ha le diagonali perpendicolari tra loro. Dimostrare che i punti $P$, $Q$, $R$, $S$ sono conciclici.
Corollario rumeno
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Sono il cuoco della nazionale!
Re: Corollario rumeno
Per curiosità, che tu sappia ci sono soluzioni che ricorrono a Cayley-Bacharach? Ci ho pensato un po' su ma senza troppa convinzione.
"Quello lì pubblica come un riccio!" (G.)
"Questo puoi mostrarlo o assumendo abc o assumendo GRH+BSD, vedi tu cos'è meno peggio..." (cit.)
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Re: Corollario rumeno
Se una cubica passa per otto punti di intersezione di due cubiche, allora passa anche per il nono. Vista la vaga somiglianza, mi chiedevo se ci fosse un modo di abbassare abbastanza il grado delle condizioni del testo da poterci ricavare qualcosa. Ma se nessuno l'ha tirato fuori nelle discussioni pre/post-gara, probabilmente non ci se ne fa nulla.
"Quello lì pubblica come un riccio!" (G.)
"Questo puoi mostrarlo o assumendo abc o assumendo GRH+BSD, vedi tu cos'è meno peggio..." (cit.)
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Re: Corollario rumeno
Sicuramente non ho sentito nominare questo teorema prima o dopo la gara, ma non credo che sia noto alla maggior parte degli olimpionici...
Visto che è un problema molto difficile, provo a dare qualche hint per il problema 6
Visto che è un problema molto difficile, provo a dare qualche hint per il problema 6
Testo nascosto:
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