Volevo vantarmi...

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Talete
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Volevo vantarmi...

Messaggio da Talete » 31 gen 2017, 15:33

...di aver trovato una bellissima soluzione del seguente problema, proveniente dalle Balkan di qualche anno fa:

Dimostrare che, per ogni terna di reali positivi $(x,y,z)$ si ha che:
\[(x+y)\sqrt{(y+z)(z+x)}+(y+z)\sqrt{(z+x)(x+y)}+(z+x)\sqrt{(x+y)(y+z)}\ge 4(xy+yz+zx).\]

Soluzione $w4g (la metto sotto spoiler):
Testo nascosto:
Scriviamo $a=\sqrt{(y+z)}$ e cicliche. Allora $x=S_A$ e cicliche (sí, è la notazione di Conway). La disuguaglianza diventa
\[abc(a+b+c)\ge 4(S_AS_B+S_BS_C+S_CS_A).\]
Usando il fatto che, detta $X$ l'area del triangolo $ABC$, si ha che $S_AS_B+S_BS_C+S_CS_A=4X^2$. Allora la disuguaglianza diventa, dopo qualche passaggio algebrico:
\[\frac{abc}{4X}\ge 2\cdot\frac{2X}{a+b+c}.\]
Usando le formule per raggio inscritto e circoscritto, questa diventa
\[R\ge 2r,\]
che è vera per il teorema di Euler (che dice che $OI^2=R^2-2Rr$, e quindi $R\ge2r$). Il caso di uguaglianza è quando $R=2r$, e cioè $a=b=c$ e cioè $x=y=z$.
Non ho guardato la soluzione ufficiale, spero non fosse questa altrimenti mi deprimo perché la mia soluzione non era cosí particolare come pensavo :(
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Gerald Lambeau
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Re: Volevo vantarmi...

Messaggio da Gerald Lambeau » 31 gen 2017, 16:16

La sostituzione che fai tu l'avevo pensata anch'io, poi dopo ho detto "ehi, ma è omogenea --> Bunching+Schur".

Riscrivo come
$\displaystyle \sum_{cyc} a^2bc \ge \sum_{cyc} (a^2+(b^2-c^2))(a^2-(b^2-c^2))$
$\displaystyle \sum_{cyc} a^2bc \ge \sum_{cyc} a^4-b^4-c^4+2b^2c^2$
$\displaystyle \sum_{cyc} a^2bc \ge \sum_{cyc} -a^4+2\sum_{cyc} b^2c^2$.
Raddoppiando i termini diventano tutte somme simmetriche (ah, la magia delle tre variabili), quindi ho
$[2, 1, 1] \ge -[4, 0, 0]+2[2, 2, 0] \Rightarrow [4, 0, 0]+[2, 1, 1] \ge 2[2, 2, 0]$, ma ora LHS è maggiore o uguale di $2[3, 1, 0]$ per Schur e RHS è minore o uguale della stessa cosa per Bunching, fine.

L'esistenza di questa soluzione mi fa pensare che la tua non sia quella ufficiale, dopotutto non tutti hanno il tuo $w4G.
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Cit. Marco (mio vero nome)

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Ci sono cose che non si possono confutare; per tutto il resto, c'è la fisica.

Talete
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Re: Volevo vantarmi...

Messaggio da Talete » 31 gen 2017, 18:44

Giusto, effettivamente la tua soluzione è più mainstream, però ci sono più conti da fare. La mia strategia è stata tipo:
Testo nascosto:
• oh ci sono radici brutte, vabbè eliminiamole toh: $\sqrt{x+y}=c$ e cicliche
• oh toh $x$ viene $(b^2+c^2-a^2)/2$, non ho voglia di fare i conti lunghi, uso la notazione di Conway dai
• ah $S_AS_B+S_BS_C+S_CS_A$ viene uguale a quattro volte l'area al quadrato
• se mi ricordo bene le formule per raggio inscritto e circoscritto il problema è concluso
• che swag, devo postarlo sul forum
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