OliForum Matematico

...di aver trovato una bellissima soluzione del seguente problema, proveniente dalle Balkan di qualche anno fa:

Dimostrare che, per ogni terna di reali positivi $(x,y,z)$ si ha che:
\[(x+y)\sqrt{(y+z)(z+x)}+(y+z)\sqrt{(z+x)(x+y)}+(z+x)\sqrt{(x+y)(y+z)}\ge 4(xy+yz+zx).\]

Soluzione $w4g (la metto sotto spoiler): Non ho guardato la soluzione ufficiale, spero non fosse questa altrimenti mi deprimo perché la mia soluzione non era cosí particolare come pensavo

La sostituzione che fai tu l'avevo pensata anch'io, poi dopo ho detto "ehi, ma è omogenea --> Bunching+Schur".

Riscrivo come
$\displaystyle \sum_{cyc} a^2bc \ge \sum_{cyc} (a^2+(b^2-c^2))(a^2-(b^2-c^2))$
$\displaystyle \sum_{cyc} a^2bc \ge \sum_{cyc} a^4-b^4-c^4+2b^2c^2$
$\displaystyle \sum_{cyc} a^2bc \ge \sum_{cyc} -a^4+2\sum_{cyc} b^2c^2$.
Raddoppiando i termini diventano tutte somme simmetriche (ah, la magia delle tre variabili), quindi ho
$[2, 1, 1] \ge -[4, 0, 0]+2[2, 2, 0] \Rightarrow [4, 0, 0]+[2, 1, 1] \ge 2[2, 2, 0]$, ma ora LHS è maggiore o uguale di $2[3, 1, 0]$ per Schur e RHS è minore o uguale della stessa cosa per Bunching, fine.

L'esistenza di questa soluzione mi fa pensare che la tua non sia quella ufficiale, dopotutto non tutti hanno il tuo $w4G.

Giusto, effettivamente la tua soluzione è più mainstream, però ci sono più conti da fare. La mia strategia è stata tipo: