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Lemma: In [math]ABC vale [math]0<g(\alpha,\beta,\gamma)=\sum_{cyc} \sin^2 \alpha \le \frac {9}{4}.
Dimostrazione. La prima è ovvia e si nota che [math]0 è la miglior costante, infatti [math]g(t,t,\pi -2t) \to 0 per [math]t \to 0. Per la seconda, si ha che [math]g=\sum_{cyc} \sin^2 \alpha=\frac{\sum_{cyc}a^2}{4R^2}= \frac{\sum_{cyc}a^2}{4 \frac{a^2b^2c^2}{16[ABC]^2}}= \frac{(\sum_{cyc}a^2)(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}{4 a^2b^2c^2} \le \frac{9}{4} \Leftrightarrow \sum_{cyc}a^6+3a^2b^2c^2 \ge \sum_{sym}a^4b^2 (facendo i conti facilmente). Ma questa è Schur con [math]a^2=x e cicliche. L'uguaglianza si ha sse [math]ABC equilatero

Sia [math]h_a l'altezza relativa ad [math]a e cicliche, [math]S l'area di [math]ABC. Allora [math]GD=\frac{h_a}{3}. Poi, osservando che [math]AFGE è ciclico, [math][DEF]=\sum_{cyc} \frac{1}{2} GE \cdot GF \sin \alpha=\frac{1}{18}\sum_{cyc} h_b h_c \sin \alpha=\frac{2S}{9}\sum_{cyc} \frac{S}{bc} \sin \alpha=\frac{S}{9}\sum_{cyc} \sin^2 \alpha. Quindi [math]f(\alpha,\beta,\gamma)=\frac{[DEF]}{[ABC]}= \frac{1}{9}\sum_{cyc} \sin^2 \alpha. Ora, per il lemma [math]0<f(\alpha,\beta,\gamma) \le \frac{1}{4}. con uguaglianza sse [math]a=b=c