Minimo/massimo geometrico $w4g

Rette, triangoli, cerchi, poliedri, ...
Rispondi
Talete
Messaggi: 745
Iscritto il: 05 giu 2014, 13:47
Località: Riva del Garda

Minimo/massimo geometrico $w4g

Messaggio da Talete »

Sia $ABC$ un triangolo e sia $G$ il suo baricentro. Siano $D$, $E$ ed $F$ le proiezioni di $G$ sui tre lati. Trovare minimo e massimo valore di
\[\frac{[DEF]}{[ABC]},\]
dove $[XYZ]$ indica l'area del triangolo $XYZ$.
"Sei il Ballini della situazione" -- Nikkio
"Meriti la menzione di sdegno" -- troppa gente
"Sei arrivato 69esimo? Ottima posizione!" -- Andrea M. (che non è Andrea Monti, come certa gente pensa)
"Se ti interessa stanno inventando le baricentriche elettroniche, che dovrebbero aiutare a smettere..." -- Bernardo
pipotoninoster
Messaggi: 42
Iscritto il: 24 feb 2018, 14:42

Re: Minimo/massimo geometrico $w4g

Messaggio da pipotoninoster »

Allora,
Testo nascosto:
Lemma: In [math] vale [math].
Dimostrazione. La prima è ovvia e si nota che [math] è la miglior costante, infatti [math] per [math]. Per la seconda, si ha che [math] (facendo i conti facilmente). Ma questa è Schur con [math] e cicliche. L'uguaglianza si ha sse [math] equilatero
Testo nascosto:
Sia [math] l'altezza relativa ad [math] e cicliche, [math] l'area di [math]. Allora [math]. Poi, osservando che [math] è ciclico, [math]. Quindi [math]. Ora, per il lemma [math]. con uguaglianza sse [math]
Avatar utente
elianto84
Messaggi: 277
Iscritto il: 20 mag 2005, 18:35
Località: Pisa
Contatta:

Re: Minimo/massimo geometrico $w4g

Messaggio da elianto84 »

In virtù del Teorema di Eulero sull'area del triangolo pedale (formula (8) su Mathworld), c'è solo da capire quali siano i valori stazionari di $\frac{OG^2}{R^2}$ o $\frac{a^2+b^2+c^2}{R^2}$. Pretty simple, I would dare to say.
Jack alias elianto84 alias jack202

http://www.matemate.it IL SITO

.::Achtung!!::. - Jordan causa nilpotenza -
Rispondi