Minimo/massimo geometrico $w4g

Rette, triangoli, cerchi, poliedri, ...
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Talete
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Minimo/massimo geometrico $w4g

Messaggio da Talete » 30 gen 2017, 15:00

Sia $ABC$ un triangolo e sia $G$ il suo baricentro. Siano $D$, $E$ ed $F$ le proiezioni di $G$ sui tre lati. Trovare minimo e massimo valore di
\[\frac{[DEF]}{[ABC]},\]
dove $[XYZ]$ indica l'area del triangolo $XYZ$.
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"Se ti interessa stanno inventando le baricentriche elettroniche, che dovrebbero aiutare a smettere..." -- Bernardo

pipotoninoster
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Re: Minimo/massimo geometrico $w4g

Messaggio da pipotoninoster » 28 feb 2018, 21:06

Allora,
Testo nascosto:
Lemma: In [math] vale [math].
Dimostrazione. La prima è ovvia e si nota che [math] è la miglior costante, infatti [math] per [math]. Per la seconda, si ha che [math] (facendo i conti facilmente). Ma questa è Schur con [math] e cicliche. L'uguaglianza si ha sse [math] equilatero
Testo nascosto:
Sia [math] l'altezza relativa ad [math] e cicliche, [math] l'area di [math]. Allora [math]. Poi, osservando che [math] è ciclico, [math]. Quindi [math]. Ora, per il lemma [math]. con uguaglianza sse [math]

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elianto84
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Re: Minimo/massimo geometrico $w4g

Messaggio da elianto84 » 06 mar 2018, 20:20

In virtù del Teorema di Eulero sull'area del triangolo pedale (formula (8) su Mathworld), c'è solo da capire quali siano i valori stazionari di $\frac{OG^2}{R^2}$ o $\frac{a^2+b^2+c^2}{R^2}$. Pretty simple, I would dare to say.
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