[Ammissione WC17] Geometria 2: Quadrilatero brutto

Rette, triangoli, cerchi, poliedri, ...
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Talete
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[Ammissione WC17] Geometria 2: Quadrilatero brutto

Messaggio da Talete » 24 dic 2016, 15:12

Sia $ABCD$ un quadrilatero con $AB$ parallelo a $CD$ e tale che gli angoli $\angle CDB$ e $\angle CAD$ siano uguali. Sia $E$ l’intersezione delle diagonali $AC$ e $BD$ e sia $O$ il circocentro del triangolo $ABE$. Sia inoltre $M$ il punto medio di $AD$.
Dimostrare che $CM$ e $DO$ sono perpendicolari.
"Sei il Ballini della situazione" -- Nikkio
"Meriti la menzione di sdegno" -- troppa gente
"Sei arrivato 69esimo? Ottima posizione!" -- Andrea M. (che non è Andrea Monti, come certa gente pensa)
"Se ti interessa stanno inventando le baricentriche elettroniche, che dovrebbero aiutare a smettere..." -- Bernardo

Linda_
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Re: [Ammissione WC17] Geometria 2: Quadrilatero brutto

Messaggio da Linda_ » 27 dic 2016, 14:11

Testo nascosto:
chiamando $F$ il punto medio di $EB$, $AOFD$ è ciclico
Testo nascosto:
ora $\triangle ABE$ e $\triangle ACD$ sono simili e...
Testo nascosto:
...$AF$ e $CM$ sono le mediane relative a lati corrispondenti, e quindi $\angle DFA=\angle CMD$
Testo nascosto:
dalla ciclicità di $AOFD$ vale $\angle ADO=\angle AFO$, e notando che $\angle DFO=\pi/2$ finiamo
La cosa brutta (o bella, dipende dai punti di vista ahah) è che l'ho trovata quasi senza volerlo sistemando la sera prima della consegna un problema del tipo "ah, ma se $b=c$ divido per 0" nella soluzione in baricentriche ( :twisted: ), che avevo pure già texxato
"Dev'essere terribile!" "Sì, anche per me è davvero fantastico!"

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