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Bello [IMOSL 2008 G2]

Inviato: 12 ott 2016, 18:52
da AlexThirty
Sia $ ABCD $ un trapezio con $ AB $ e $ CD $ lati paralleli. Supponiamo esistano un punto $ E $ sulla retta $ BC $, esterno al segmento $ BC $ e un punto $ F $ sulla retta $ AD $, interno al segmento $ AD $, tali che $ \angle DAE=\angle CBF $. Sia $ I $ l'intersezione tra $ CD $ ed $ EF $, e $ J $ l'intersezione tra $ AB $ ed $ EF $. Sia $ K $ il punto medio di $ EF $ e supponiamo che non si trovi sulla retta $ AB $. Dimostrare che $ I $ appartiene alla circoscritta ad $ \triangle ABK $ se e solo se $ K $ appartiene alla circoscritta a $ \triangle CDJ $.

Re: Bello [IMOSL 2008 G2]

Inviato: 02 nov 2017, 02:55
da ricarlos
$\angle ECD = \angle EBA$ perché $CD\parallel AB$

$\angle DFE = \angle EBA$ perché $ABEF$ è ciclico (<AFE=180-EBA), allora

$DC$ è asse radicale di $(DFCE), (JDKC)$
$FE$ (o JE) è asse radicale di $(DFCE), (ABEF)$

allora $I$ è il centro radicale delle tre circonferenze $\rightarrow IJ(IK) = IF(IE)$ (potenza de I) ....... (1)
geo2.png
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Sia $r = FK = KE$

$IF = r-IK$
$IE = r+IK$

$IJ(IK) = (r-IK)(r+IK) = r^2 - IK^2$

$IJ(IK) + IK^2 = r^2$

$IK(IJ + IK) = r^2$

$IK (JK) = r^2$

$IK = JK - JI$

$(JK - JI)(JK) = r^2$

$JK^2 - JK(JI) = r^2$

$JK^2 - r^2 = JK(JI)$

$(JK-r)(JK+r) = JK(JI)$

$ JF(JE) = JK(JI)$

La potenza del punto $J$ rispetto alla circonferenza $(ABEF)\rightarrow JF(JE) = JA(JB)$

Allora $JA(JB)= JK(JI) \rightarrow ABKI$ è ciclico. (I appartiene alla circoscritta a ABK)


{si $K$ non appartiene alla circonferenza $(JDC)$ quindi $I$ rimane a essere il centro radicale ma (1) no cumple}

Re: Bello [IMOSL 2008 G2]

Inviato: 04 nov 2017, 23:53
da AlexThirty
Buona :D