3 circonferenze per dimostrare un allineamento

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alegh
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3 circonferenze per dimostrare un allineamento

Messaggio da alegh » 26 ago 2016, 02:37

Sia $ABC$ un triangolo, e siano $O$ il suo circoncentro e $\Omega$ la sua circonferenza circoscritta. La circonferenza di diametro $AO$ interseca nuovamente la circonferenza circoscritta al triangolo $OBC$ nel punto $S$. Le tangenti a $\Omega$ in $B$ e in $C$ si intersecano in $P$.

Dimostrare che i punti $A$, $S$, $P$ sono allineati.

Fonte:
Testo nascosto:
TF senior 2014 - problema 11
Ho provato a risolvere il problema in baricentriche ma è la prima volta che le uso. Di seguito riporto i passaggi ed i risultati della mia soluzione, omettendo i calcoli, a volte non proprio corti. Ringrazio chiunque abbia voglia di darle un'occhiata.
Testo nascosto:
Ovviamente
$A[1:0:0]$, $B[0:1:0]$, $C[0:0:1]$, $O[a^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2}):b^{2}(c^{2}+a^{2}-b^{2}):c^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})]$.

La circoscritta ad $\triangle ABC$ è
$\Omega:\qquad a^{2}yz+b^{2}zx+c^{2}xy=0$

Inoltre
$t_{B}:=$ tangente in $B$ a $\Omega$

$\Rightarrow\qquad t_{B}:\qquad c^{2}x+a^{2}z=0$

e
$t_{C}:=$ tangente in $C$ a $\Omega$

$\Rightarrow\qquad t_{C}:\qquad b^{2}x+a^{2}y=0$

Calcolo quindi $P$
\[
P
\begin{cases}
c^{2}x+a^{2}z=0\\
b^{2}x+a^{2}y=0
\end{cases}
\qquad\Rightarrow\qquad P[-a^{2}:b^{2}:c^{2}]
\]

Sia
$\Gamma:=$ circonferenza circoscritta a $\triangle OBC$

Impongo il passaggio per $B$, $C$, $O$ ed ottengo
\[
\begin{cases}
a^{2}\cdot 1\cdot 0+b^{2}\cdot 0\cdot 0+c^{2}\cdot 0\cdot 1-(0\cdot p+q\cdot 1+0\cdot r)(0+1+0)=0\qquad\Rightarrow\qquad q=0\\
a^{2}\cdot 0\cdot 1+b^{2}\cdot 1\cdot 0+c^{2}\cdot 0\cdot 0-(0\cdot p+q\cdot 0+1\cdot r)(0+0+1)=0\qquad\Rightarrow\qquad r=0
\end{cases}
\]

Imponendo il passaggio per $O$ ottengo $p=\dfrac{b^{2}c^{2}}{b^{2}+c^{2}-a^{2}}$.

Quindi
$\Gamma: a^{2}yz+b^{2}zx+c^{2}xy-\dfrac{b^{2}c^{2}}{b^{2}+c^{2}-a^{2}}x(x+y+z)=0$

Inoltre
$r_{AP}:\qquad -c^{2}y+b^{2}z=0$

Siano
$M:=$ punto medio di $AB$ $\Rightarrow$ $M[1:1:0]$

$N:=$ punto medio di $AC$ $\Rightarrow$ $N[1:0:1]$

$O\widehat{M}A=A\widehat{N}O=90^{\circ}$ $\Rightarrow$ $ANOM$ ciclico con diametro $AO$

Definisco quindi la circonferenza richiesta dal problema come
$\omega:=$ circonferenza circoscritta a $ANOM$

La calcolo imponendo il passaggio, come fatto in precedenza, per $A$, $N$, $M$.

Ottengo
$\omega:\qquad a^{2}yz+b^{2}zx+c^{2}xy-\left(\dfrac{c^{2}}{2}y+\dfrac{b^{2}}{2}z\right)(x+y+z)=0$

Se la tesi è vera, allora $S\in r_{AP}$, $S\in \Gamma$ e $S\in\omega$.

Cerco quindi un siffatto punto.

Ho un sistema a tre equazioni in tre incognite
\[
S
\begin{cases}
a^{2}yz+b^{2}zx+c^{2}xy-\dfrac{b^{2}c^{2}}{b^{2}+c^{2}-a^{2}}x(x+y+z)=0\\
a^{2}yz+b^{2}zx+c^{2}xy-\left(\dfrac{c^{2}}{2}y+\dfrac{b^{2}}{2}z\right)(x+y+z)=0\\
-c^{2}y+b^{2}z=0
\end{cases}
\]

Dalla terza equazione ottengo
\[
z=\dfrac{c^{2}}{b^{2}}y
\]

Sottraendo la seconda equazione alla prima e utilizzando la relazione appena trovata, ottengo
\[
y=\dfrac{b^{2}}{b^{2}+c^{2}-a^{2}}x\\
z=\dfrac{c^{2}}{b^{2}+c^{2}-a^{2}}x
\]

Quindi
\[
S\left[x:\dfrac{b^{2}}{b^{2}+c^{2}-a^{2}}x:\dfrac{c^{2}}{b^{2}+c^{2}-a^{2}}x\right]
\]
lavorando in coordinate omogenee, divido per $x$ ed ottengo
\[
S\left[1:\dfrac{b^{2}}{b^{2}+c^{2}-a^{2}}:\dfrac{c^{2}}{b^{2}+c^{2}-a^{2}}\right]=[b^{2}+c^{2}-a^{2}:b^{2}:c^{2}]
\]
da cui la tesi.

Come vi sembra?

Commenti e critiche sono graditissimi.

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Sirio
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Re: 3 circonferenze per dimostrare un allineamento

Messaggio da Sirio » 13 nov 2016, 18:50

alegh, scusa se ignoro la tua soluzione ma non conoscendo le baricentriche è meglio che io mi astenga.
Ciò detto, provo qualcosa in sintetica (saltando qualche passaggio)!
Testo nascosto:
$\angle{PBO}$ e $\angle{PCO}$ sono entrambi retti, quindi $P$, $B$, $O$ e $C$ stanno sulla stessa circonferenza, su cui per ipotesi sta anche $S$.
Inverto in $\Omega$ e la tesi diventa "dimostrare che i punti $A'$, $S'$, $P'$ ed $I'$ giacciono su una stessa circonferenza", dove $I$ è il punto all'infinito e quindi $I'$ ed $O$ coincidono. Non sto a riscrivere le ipotesi, allego un disegno:
disegno.png
disegno.png (160.59 KiB) Visto 4343 volte
Il nero è prima dell'inversione, il rosso dopo. Il tratteggio è la tesi. Ho spostato un po' $A'$, $B'$ e $C'$ per comodità mia.
Per l'osservazione di prima, $B'$, $C'$, $P'$ ed $S'$ sono allineati.
Osserviamo che il triangolo $B'I'C'$ è isoscele di base $B'C'$. Inoltre, poiché per il teorema delle tangenti $\angle{OPB}\cong\angle{OPC}$ allora $\angle{I'P'B'}\cong\angle{I'P'C'}$, ed essendo la somma di questi due angoli un angolo piatto allora ciascuno di essi è retto. Questo, unito al fatto che $\angle{I'A'S'}$ è retto, implica la tesi. :D
Per chi conosce le inversioni: se trovate un errore o qualcosa di non chiaro e me lo scrivete vi sono grato.
Per chi non le conosce: ignoratemi.
シリオ
$T=\sqrt{\dfrac l g 12\pi}$

EvaristeG
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Re: 3 circonferenze per dimostrare un allineamento

Messaggio da EvaristeG » 16 nov 2016, 18:14

Hmm eppure un problema del genere dovrebbe ormai suggerire un'altra tecnica: (hint successivi e di una banalità sconcertante)

0
Testo nascosto:
il punto P sta sulla simmediana, quindi ...
1
Testo nascosto:
...un pavloviano riflesso dovrebbe costringervi a invertire in A con raggio $\sqrt{AB\cdot AC}$ e poi fare una simmetria rispetto alla bisettrice...
2
Testo nascosto:
a quel punto, dove va la circonferenza di diametro $AO$ e dove va $AO$? e quindi dove va $O$?
3
Testo nascosto:
ma allora la circonferenza per $B$, $C$, $O$ in cosa va? non tanto rispetto al triangolo ABC, ma ....
4
Testo nascosto:
... rispetto al triangolo formato dalle rette $AB$, $AC$ e dall'immagine della cfr di diametro $AO$.
5
Testo nascosto:
e non è ovvia ora la tesi?

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