OliForum Matematico

Cesenatico 2013 - 5

- la mia soluzione è in cartesiane: è lecito porre i vertici del triangolo isoscele nelle coordinate $A(-1,a)$, $B(-2,0)$, $C(0,0)$ con $a>0$ e dire che qualsiasi altro triangolo isoscele si può ottenere per omotetia e/o rotazione?
- siccome $\widehat{DBC}=\widehat{BAC}$ posso anche scrivere $\widehat{DBC}=\widehat{CBD}$ (sto cercando di imparare gli angoli orientati e sto facendo un po' di confusione: io credo che il testo dica che il triangolo $BDC$ sia isoscele su base $CD$)?
- nella mia soluzione in coordinate cartesiane, ammesso che sia corretta, non ho mai usato il fatto che l'angolo al vertice sia minore di $60^{\circ}$. Sono io che sbaglio, o è il problema che è vero anche senza questa restrizione (che nella mia soluzione si dovrebbe tradurre con $a>\sqrt{3}$)?

(i) Una trasformazione che coinvolge omotetie, rotazioni e simmetrie si chiama isometria. Le isometrie preservano i rapporti di lunghezze, i parallelismi, le perpendicolarita', le collinearita' e gli angoli, quindi trasformando il problema con una isometria le costruzioni nelle ipotesi non cambiano, e la tesi e' vera in partenza se e solo se e' vera in arrivo. Quindi certo che puoi supporre che, in un sistema di coordinate cartesiano: $A(-1,a)$, $B(-2,0)$, $C(0,0)$ (ma dimenticavi le simmetrie) con $a>0$. Sia $b$ la lunghezza di $AB$ (che puoi calcolare con Pitagora).

(ii) La tua deduzione e' al contempo corretta e contraddittoria, perche' nel testo gli angoli indicati non sono orientati.

(iii) La tesi e' vera anche senza la restrizione sugli angoli. La condizione e' semplicemente di semplificazione, perche' permette di esaminare meno casi equivalenti in certe soluzioni elaborate.

(spero che sia quella ufficiale, ma non ricordo)

Per il primo punto, definisci $G(-2,a)$. Se $a>\sqrt 3$ allora il quadrilatero GBDA e' ciclico. Se $a=\sqrt 3$ pure ($A=D$), e pure se $a<\sqrt 3$, ma cambiando l'ordine GBAD. In ogni caso, guardando gli angoli di $BDG$ si vede che $G$ sta sull'asse di $BD$ e quindi deduci $G=E$ e quindi la prima tesi.

Per il secondo punto, definisci $X$ il punto di intersezione fra $r$ ed $s$. Guardando gli angoli, vedi che il triangolo $FEX$ e' simile ad ABC, ma ha base lunga $2a$, e quindi lato obliquo $EX=ab$.

D'altra parte calcoli che l'angolo $\widehat{BEX}$ e' retto e $EB=b$. Quindi il triangolo $EBX$ e' rettangolo, simile a meta' di $ABC$. Ne deduci la misura dell'angolo $\widehat{EBX}$, da cui deduci che $X$ giace sulla retta $t$.