1 triangolo isoscele, 2 rette parallele e 3 rette concorrenti

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alegh
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1 triangolo isoscele, 2 rette parallele e 3 rette concorrenti

Messaggio da alegh » 13 ago 2016, 00:29

Dato un triangolo isoscele $ABC$ con $AB=AC$ e $\widehat{BAC}<60^{\circ}$, sia $D$ il punto su $AC$ tale che $\widehat{DBC}=\widehat{BAC}$, sia $E$ l'intersezione dell'asse di $BD$ con la retta parallela a $BC$ passante per $A$, e sia $F$ il punto sulla retta $AC$, dalla parte di $A$ rispetto a $C$, tale che la lunghezza di $FA$ sia il doppio della lunghezza di $AC$.
Infine, siano $r$ la retta perpendicolare ad $AB$ condotta da $F$, $s$ la perpendicolare ad $AC$ condotta da $E$, e $t$ la retta $BD$. Dimostrare che:
1. le rette $EB$ e $AC$ sono parallele;
2. le rette $r$, $s$ e $t$ concorrono.

Fonte:
Testo nascosto:
Cesenatico 2013 - 5


Avrei alcune domande:
Testo nascosto:
- la mia soluzione è in cartesiane: è lecito porre i vertici del triangolo isoscele nelle coordinate $A(-1,a)$, $B(-2,0)$, $C(0,0)$ con $a>0$ e dire che qualsiasi altro triangolo isoscele si può ottenere per omotetia e/o rotazione?
- siccome $\widehat{DBC}=\widehat{BAC}$ posso anche scrivere $\widehat{DBC}=\widehat{CBD}$ (sto cercando di imparare gli angoli orientati e sto facendo un po' di confusione: io credo che il testo dica che il triangolo $BDC$ sia isoscele su base $CD$)?
- nella mia soluzione in coordinate cartesiane, ammesso che sia corretta, non ho mai usato il fatto che l'angolo al vertice sia minore di $60^{\circ}$. Sono io che sbaglio, o è il problema che è vero anche senza questa restrizione (che nella mia soluzione si dovrebbe tradurre con $a>\sqrt{3}$)?
Grazie per qualsiasi risposta

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ghilu
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Re: 1 triangolo isoscele, 2 rette parallele e 3 rette concorrenti

Messaggio da ghilu » 25 ago 2016, 20:57

Rispondo alle domande.
Testo nascosto:
(i) Una trasformazione che coinvolge omotetie, rotazioni e simmetrie si chiama isometria. Le isometrie preservano i rapporti di lunghezze, i parallelismi, le perpendicolarita', le collinearita' e gli angoli, quindi trasformando il problema con una isometria le costruzioni nelle ipotesi non cambiano, e la tesi e' vera in partenza se e solo se e' vera in arrivo. Quindi certo che puoi supporre che, in un sistema di coordinate cartesiano: $A(-1,a)$, $B(-2,0)$, $C(0,0)$ (ma dimenticavi le simmetrie) con $a>0$. Sia $b$ la lunghezza di $AB$ (che puoi calcolare con Pitagora).

(ii) La tua deduzione e' al contempo corretta e contraddittoria, perche' nel testo gli angoli indicati non sono orientati.

(iii) La tesi e' vera anche senza la restrizione sugli angoli. La condizione e' semplicemente di semplificazione, perche' permette di esaminare meno casi equivalenti in certe soluzioni elaborate.
Includo una breve soluzione.
Testo nascosto:
(spero che sia quella ufficiale, ma non ricordo)

Per il primo punto, definisci $G(-2,a)$. Se $a>\sqrt 3$ allora il quadrilatero GBDA e' ciclico. Se $a=\sqrt 3$ pure ($A=D$), e pure se $a<\sqrt 3$, ma cambiando l'ordine GBAD. In ogni caso, guardando gli angoli di $BDG$ si vede che $G$ sta sull'asse di $BD$ e quindi deduci $G=E$ e quindi la prima tesi.

Per il secondo punto, definisci $X$ il punto di intersezione fra $r$ ed $s$. Guardando gli angoli, vedi che il triangolo $FEX$ e' simile ad ABC, ma ha base lunga $2a$, e quindi lato obliquo $EX=ab$.

D'altra parte calcoli che l'angolo $\widehat{BEX}$ e' retto e $EB=b$. Quindi il triangolo $EBX$ e' rettangolo, simile a meta' di $ABC$. Ne deduci la misura dell'angolo $\widehat{EBX}$, da cui deduci che $X$ giace sulla retta $t$.
Non si smette mai di imparare.

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Re: 1 triangolo isoscele, 2 rette parallele e 3 rette concorrenti

Messaggio da fph » 25 ago 2016, 23:51

ghilu ha scritto:Una trasformazione che coinvolge omotetie, rotazioni e simmetrie si chiama isometria. Le isometrie preservano i rapporti di lunghezze, i parallelismi, le perpendicolarita', le collinearita' e gli angoli
Uhm, mi sa che ti è scappato il termine sbagliato... se ci metti anche le omotetie allora si tratta di similitudini, non isometrie.
--federico
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alegh
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Re: 1 triangolo isoscele, 2 rette parallele e 3 rette concorrenti

Messaggio da alegh » 26 ago 2016, 01:13

Grazie

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