PreIMO 2015 G7

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Rho33
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PreIMO 2015 G7

Messaggio da Rho33 » 26 lug 2016, 17:58

Questo problema mi ha tormentato per due settimane di fila, o forse anche di più. Cercavo disperatamente una soluzione diversa da quella del video (con tutti quei conti di angoli e trigonometria :evil: ), ma non riuscivo a trovarla. Un po' di progressi li ho fatti, ma ancora non riesco a concludere usando un lemma che ho scoperto durante il tentativo di soluzione, che ora so chiamarsi Teorema/Lemma di Thebault.

Innanzitutto il testo:

Sia $\Omega$ una circonferenza e sia $ABCD$ un quadrilatero inscritto in $\Omega$. Sia $E=AC \cap BD$ e sia $F=BC \cap DA$ (supponiamo $A$ compreso tra $F$ e $D$, $B$ compreso tra $F$ e $C$). Sia $M$ il punto medio dell'arco $AB$ non contenente $C$. Sia $N$ il punto medio dell'arco $CD$ contenente $A$. Siano $I_1,I_2,I_3,I_4$ gli incentri dei triangoli $\triangle ABE, \triangle CDE, \triangle ABF , \triangle CDF$ rispettivamente.

$\bullet $ Dimostrare che $I_1,I_3,M$ sono allineati. Dimostrare che $I_2,I_4,N$ sono allineati.

$\bullet $ Detto $X$ il punto di intersezione delle rette del punto precedente, dimostrare che $X \in \Omega$.

Ora il teorema/lemma , di cui non posto la mia soluzione perché è carino da dimostrare:

Teorema: Sia $ABCD$ un quadrilatero ciclico e sia $I$ l'incentro del triangolo $\triangle ABC$. Sia $\Lambda$ una circonferenza tangente a $AC$ in $X$ , a $BD$ in $Y$ ed all'arco $AB$ non contenente $C,D$ in $T$. Allora $I,X,Y$ sono allineati ed in più i quadrilateri $TBYI,TAXI$ sono entrambi ciclici.

Vi chiederete a cosa serve, ecco in spoiler uno sketch veloce (senza dimostrazioni) del punto a cui sono arrivato:
Testo nascosto:
$X$ è punto di tangenza del cerchio tangente ad $CE,DE, $ e all'arco $CD$ di $ \Omega$. Basta costruire oltre agli incentri $I_2,I_4$ anche gli incentri di $\triangle CDA, \triangle CDB$ e mostrare che che $X,I_2,I_4$ sono allineati, usando il lemma precedente ed il teorema degli assi radicali.Per dimostrare l'allineamento con $N$ , o si procede come nel video usando i coniugati isogonali, oppure si mostra che, detto $R$ il punto di intersezione dell'asse di $CD$ con $\Omega$ (cioè il punto $N$ nel testo), si ha che $X,I_2,N$ sono allineati. Ora però manca da dimostrare che $I_1,I_3,X$ sono allineati. Avevo pensato a sfruttare degli excerchi/ excentri, ma non ho ricavato fuori un granché :oops:
Qualcuno disposto a continuare questa via?
Ultima modifica di Rho33 il 26 lug 2016, 19:09, modificato 1 volta in totale.


Rho33
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Re: PreIMO 2015 G7

Messaggio da Rho33 » 26 lug 2016, 18:52

Innanzitutto, grazie mille per il link! :D Inoltre, è assurdo che abbiamo usato le stesse notazioni per il lemma :o :o (che ora so chiamarsi in due modi diversi, tra l'altro :lol: ). C'è però un problema, l'utente di Aops liquida in due parole il caso mancante (cioè $I_1,I_3,X$ allineati) dicendo che si fa alla stessa maniera, il problema è che, di certo non si fa in modo analogo, poiché questa volta un punto è fuori e l'altro è dentro $\Gamma$. Quindi questo è esattamente lo step in cui mi bloccavo (e mi blocco tutt'ora) nella dimostrazione :oops: Dovrei considerare degli excentri oppure qualcos'altro? Anche un hint va bene, nonostante abbia spesso davvero tanto tempo su questo problema.

P.S. L'utente di Aops inoltre ha sbagliato la notazione, rimpiazzate tutte le $A,B$ con $D,C$ altrimenti non funziona (è quindi evidente che per l'altro caso si deve trovare una via alternativa )

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Re: PreIMO 2015 G7

Messaggio da EvaristeG » 09 set 2016, 10:14

Rho33 ha scritto:(con tutti quei conti di angoli
Benvenuto nella geometria
Rho33 ha scritto: e trigonometria :evil: )
Il teorema dei seni?

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