Concorrenti o qualcosa di più

Rette, triangoli, cerchi, poliedri, ...
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Saro00
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Concorrenti o qualcosa di più

Messaggio da Saro00 » 15 lug 2016, 11:05

Sia $ ABC $ un triangolo, siano $ A_1,B_1,C_1 $ i piedi delle altezze.
Sia $ \Gamma $ la circoscritta a $ ABC $.
Sia $ P $ un punto.
Siano $ A_2,B_2,C_2 $ $ PA\cap\Gamma $ e cicliche.
Dimostrare che le circonferenze circoscritte a $ AA_1A_2,BB_1B_2,CC_1,C_2 $ concorrono.
Un giorno di questi mi metteranno in prigione per aver stuprato troppi problemi. 8)

MATHia
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Re: Concorrenti o qualcosa di più

Messaggio da MATHia » 28 lug 2016, 01:27

Dunque:
Testo nascosto:
Siano $H$ l'ortocentro di $\triangle ABC$ e $\omega_A:= \odot(AA_1A_2)$ e cicliche. Vale il seguente
Lemma 1: $HA\cdot HA_1=H_B\cdot HB_1=HC\cdot HC_1$
Dimostrazione: Si noti che $ABA_1B_1$, $BCB_1C_1$ e $CAC_1A_1$ sono quadrilateri ciclici, in quanto $A_1$, $B_1$ e $C_1$ sono piedi delle altezze. Allora $HA\cdot HA_1=HB\cdot HB_1$ e cicliche, da cui la tesi.

Si noti che $HA\cdot HA_1$ è anche la potenza del punto $H$ rispetto alla circonferenza $\omega_A$. Ma allora per il Lemma 1 vale
\[
pow_{\omega_A}(H)=pow_{\omega_B}(H)=pow_{\omega_C}(H)
\]
Inoltre, vale anche $PA\cdot PA_2=pow_{\omega_A}(P)=pow_{\Gamma}(P)$ e cicliche, da cui
\[
pow_{\omega_A}(P)=pow_{\omega_B}(P)=pow_{\omega_C}(P)
\]
Se $P\equiv H$, allora $\omega_A$, $\omega_B$ e $\omega_C$ degenerano nelle rette $AH$, $BH$ e $CH$ rispettivamente, che concorrono in $H$. Altrimenti, visto che esistono due punti distinti $H$ e $P\not\equiv H$ che hanno la stessa potenza rispetto alle tre circonferenze, allora $PH$ è asse radicale di $\omega_A$, $\omega_B$ e $\omega_C$. Inoltre $H$ ha potenza negativa rispetto alle tre circonferenze, in quanto è interno ai segmenti $AA_1$, $BB_1$ e $CC_1$. Allora l'asse radicale interseca $\omega_1$ in almeno un punto $Q$. Visto che $Q$ appartiene all'asse radicale, allora ha la stessa potenza rispetto a $\omega_A$, $\omega_B$ e $\omega_C$, dunque appartiene a tutte e tre le circonferenze, che dunque concorrono in $Q$.

Volendo dire qualcosa in più le circonferenze concorrono in due punti distinti se e solo se $P$ è diverso da $H$.

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