OliForum Matematico

Sia dato un poligono con $n$ vertici tutti su una stessa circonferenza. Prendiamo un vertice $A_i$ del poligono, e lo colleghiamo a tutti gli altri (tranne $A_{i-1}$ e $A_{i+1}$, se siete pignoli con gli indici $\mod n$). In questo modo il poligono è diviso in $n-2$ triangoli; siano $r_1,r_2\ldots r_{n-2}$ i raggi delle circonferenze iscritte in ciascuno degli $n-2$ triangoli. Dimostrare che $\sum\limits_{j=1}^{n-2} r_j$ è costante per qualsiasi scelta del vertice iniziale $A_i$ tra gli $n$ possibili.