Geometria o... fisica?

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zetaeffe
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Geometria o... fisica?

Messaggio da zetaeffe » 17 apr 2016, 12:44

Quattro rette $r_1, r_2, r_3, r_4$ s'incontrano in $6$ punti distinti $P_{1,2},P_{1,3},P_{1,4},P_{2,3},P_{2,4},P_{3,4}$. Quattro punti materiali (uno per retta) si muovono a velocità costante lungo le quattro rette. Si dice che nel punto $P_{i,j}$ avviene uno "scontro" se in un certo istante i due punti che appartengono alle rette $r_i$ e $r_j$ si trovano entrambi in $P_{i,j}$. Dimostrare che se avvengono almeno $5$ "scontri", allora ne avvengono necessariamente $6$.
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Mountains Drew
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Re: Geometria o... fisica?

Messaggio da Mountains Drew » 24 apr 2016, 16:35

Mi era già stato proposto questo problema... però alla fine non l'avevo mai risolto, nè mi era stata detta la soluzione.
Ora leggendolo me ne è venuta in mente una carina:
Testo nascosto:
Lemma 1:Se quattro rette $l_1,l_2,l_3,l_4$ (nello spazio) si incontrano in 5 punti distinti, allora sono complanari.
Dimostrazione:
Sappiamo che ci sono 5 intersezioni: WLOG tutte tranne quella tra $l_3,l_4$.
Prendiamo $l_1,l_2$, incidenti, quindi appartenenti ad uno stesso piano $\alpha$. Entrambe $l_3,l_4$ intersecano, entrambe le rette $l_1,l_2$, quindi giacciono anch'esse su $\alpha$.
C.V.D.

Le 4 rette, poichè si incotrano in 6 punti, per il Lemma 1 giacciono su uno stesso piano $\alpha$.
La cosa scomoda ora, e che uno non ci si aspetta di trovare in un problema di geometria è il tempo. Quindi leviamolo!
Facciamo diventare il tempo la terza dimensione, quella perpendicolare al piano $\alpha$. In questo modo l'insieme delle coordinate spazio-temporali dei punti materiali che si muovono di moto rettilineo uniforme sono 4 rette $t_1, t_2, t_3, t_4$, più o meno inclinate rispetto al piano $\alpha$ e tali che $r_i$ è la proiezione di $t_i$ su $\alpha$, $\forall i \in \{1,2,3,4\}$.
Ancora per il Lemma 1, le rette $t_1,t_2,t_3,t_4$, sono complanari, perchè per ipotesi i punti materiali danno luogo a 5 scontri.
Osserviamo che tra le rette $t_1,t_2,t_3,t_4$ non ce ne possono essere 2 parallele, perchè altrimenti anche le corrispettive $r_i,r_j$ sarebbero parallele, ma questo contraddice l'ipotesi che le $r_i$ si intersechino in 6 punti.
Quindi le $t_i$ sono complanari, non a 2 a 2 parallele, ovvero tutte incidenti e quindi hanno 6 intersezioni.

zetaeffe
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Re: Geometria o... fisica?

Messaggio da zetaeffe » 24 apr 2016, 20:47

Ottimo! Inoltre in questo problema succede un altro fatto carino: i quattro punti che viaggiano sulle rette sono sempre allineati tra loro.

Mountains Drew
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Re: Geometria o... fisica?

Messaggio da Mountains Drew » 25 apr 2016, 12:25

zetaeffe ha scritto:Ottimo! Inoltre in questo problema succede un altro fatto carino: i quattro punti che viaggiano sulle rette sono sempre allineati tra loro.
Uh, è vero... In effetti le posizioni dei punti in ogni istante si ottengono dalla mia configurazione intersecando le rette $t_i$ con un piano parallelo ad $\alpha$. Ma sapendo che le rette $t_i$ appartengono ad un piano obliquo $\beta$ per la dimostrazione sopra, allora i punti appartengono alla retta $\alpha \cap \beta$. :D

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Re: Geometria o... fisica?

Messaggio da fph » 25 apr 2016, 14:31

Uhm, non dovresti anche dimostrare che $\alpha \neq \beta$ perché quell'idea funzioni?
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Mountains Drew
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Re: Geometria o... fisica?

Messaggio da Mountains Drew » 25 apr 2016, 15:20

Mountains Drew ha scritto: Facciamo diventare il tempo la terza dimensione, quella perpendicolare al piano $\alpha$. In questo modo l'insieme delle coordinate spazio-temporali dei punti materiali che si muovono di moto rettilineo uniforme sono 4 rette $t_1, t_2, t_3, t_4$, più o meno inclinate rispetto al piano $\alpha$ e tali che $r_i$ è la proiezione di $t_i$ su $\alpha$, $\forall i \in \{1,2,3,4\}$.
Sì, ok, in effetti non avevo specificato che le $t_i$ formano con $\alpha$ (cioè con le loro proiezioni su $\alpha$) un angolo non nullo, perchè penso si possa supporre che la velocità dei punti non sia infinita (se proprio vogliamo ricadere nella fisica, stiamo parlando di punti materiali, quindi $v<c$ :lol: )

LudoP
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Re: Geometria o... fisica?

Messaggio da LudoP » 17 mag 2016, 21:40

Ma allora la domanda diventerebbe: e` vero anche nella geometria dello spazio-tempo (che non e` euclidea)?
E diventiamo velocemente OT per quest'area, mentre dovremmo trasferirci in Matematica non elementare

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