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Gara di Firenze pt2
Inviato: 03 apr 2016, 10:22
da Fbuonarroti
Dato un triangolo $ ABC $ si consideri l'altezza uscente da $ C $ e la bisetrice uscente da $ B $, si dica $ P $ il loro punto di intersezione.
Dimostrare che il rapporto tra le aree dei triangoli $ APB $ e $ APC $ è un numero razionale
Edit: sono un cretino e mi ero scordato l'ipotesi che i lati del triangolo sono interi
Re: Gara di Firenze pt2
Inviato: 05 apr 2016, 20:45
da AlexThirty
Re: Gara di Firenze pt2
Inviato: 05 apr 2016, 21:41
da matpro98
Scusa, dov'è l'ipotesi che i lati siano interi?
Re: Gara di Firenze pt2
Inviato: 05 apr 2016, 22:05
da AlexThirty
matpro98 ha scritto:Scusa, dov'è l'ipotesi che i lati siano interi?
Si scusa mi sono dimenticato. Nei testi originali c'era e se vuoi posso anche mandarteli... Mi sono scordato di scrivere che lui probabilmente si è dimenticato di scriverlo
Re: Gara di Firenze pt2
Inviato: 05 apr 2016, 22:08
da Fbuonarroti
Alex hai partecipato alla gara? In che aula eri?
Re: Gara di Firenze pt2
Inviato: 05 apr 2016, 22:35
da AlexThirty
Fbuonarroti ha scritto:Alex hai partecipato alla gara? In che aula eri?
No... Semplicemente un certo bern mi ha passato i testi
Tu l'hai fatta? Come ti è andata?
Re: Gara di Firenze pt2
Inviato: 07 apr 2016, 11:22
da matpro98
Io invece l'avevo fatto in baricentriche.
Sia $H_C$ il piede dell'altezza da $C$, allora $H_C=(a^2-b^2+c^2:-a^2+b^2+c^2:0)$, quindi abbiamo la retta $CH_C:(a^2-b^2-c^2)x+(a^2-b^2+c^2)y=0$ e la retta $BP:cx-az=0$. $P$ risulta quindi $P=\left(a(a^2-b^2+c^2):a(-a^2+b^2+c^2):c(a^2-b^2+c^2) \right)$. Il rapporto $\dfrac{[APB]}{[APC]}$ equivale al rapporto tra la terza e la seconda coordinata di $P$, quindi $\dfrac{[APB]}{[APC]}=\dfrac{c(a^2-b^2+c^2)}{a(-a^2+b^2+c^2)}$ ed essando i lati interi, quel rapporto è razionale.
Re: Gara di Firenze pt2
Inviato: 07 apr 2016, 13:28
da AlexThirty
matpro98 ha scritto:Io invece l'avevo fatto in baricentriche.
Sia $H_C$ il piede dell'altezza da $C$, allora $H_C=(a^2-b^2+c^2:-a^2+b^2+c^2:0)$, quindi abbiamo la retta $CH_C:(a^2-b^2-c^2)x+(a^2-b^2+c^2)y=0$ e la retta $BP:cx-az=0$. $P$ risulta quindi $P=\left(a(a^2-b^2+c^2):a(-a^2+b^2+c^2):c(a^2-b^2+c^2) \right)$. Il rapporto $\dfrac{[APB]}{[APC]}$ equivale al rapporto tra la terza e la seconda coordinata di $P$, quindi $\dfrac{[APB]}{[APC]}=\dfrac{c(a^2-b^2+c^2)}{a(-a^2+b^2+c^2)}$ ed essando i lati interi, quel rapporto è razionale.
Vedendo che si trattava di aree ho pensato suboto che in baricentriche venisse easy. Poi ho pensato che devo esercitarmi in sintetica che sono molto scarso e ho cercato la via più base diciamo