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Do per buone le seguenti costruzioni:
- dividere un segmento in n parti.
- tracciare la perpendicolare a una retta per un punto.
- costruire il simmetrico di un punto rispetto a un punto dato.
Sia [math]A il vertice noto, [math]H l'ortocentro (dato), [math]M il punto medio (dato) di [math]BC. Traccio [math]AM. Quindi divido [math]AMin 3 parti e individuo cosí il baricentro[math]G (sapendo che [math]AM=3GM). Poi, so che [math]O,G,Msono allineati con[math]OH=3OG. Quindi costruisco [math]K punto medio di [math]GH e poi il simmetrico di [math]K rispetto a [math]G:
esso é [math]O, il circocentro. Traccio [math]OM e costruisco la perpendicolare [math]ra [math]OM per [math]M: é la retta [math]BC. Traccio la circonferenza di centro [math]O per [math]A: le intersezioni con [math]r sono [math]B, C

Fatto: [math]ABC triangolo, [math]\Gamma circoscritta, [math]D, E, F le intersezioni con [math]\Gamma delle bisettrici uscenti da [math]A,B,C rispettivamente. Allora la retta [math]DA é l'altezza del triangolo [math]DEF uscente da [math]D e cicliche, ossia l'incentro di [math]ABC é l'ortocentro di [math]DEF.
Dimostrazione: banale angle chasing
Allora, detti [math]D,E,Fi punti dati, basta tracciare la perpendicolare a [math]EFper D. L'intersezione di tale retta con la circonferenza data é[math]A.
Stessa cosa per [math]B, C.

Do per buona la costruzione della bisettrice.
Fatto: le altezze di un triangolo sono le bisettrici del triangolo che ha per vertici i piedi delle altezza.
Dimistrazione: banale.
Ora, siano [math]D, E, F i punti dati. Allora traccio le bisettrici di [math]DEF. Costruisco la perpendicolare [math]r_D in [math]D alla bisettrice in [math]D...e cicliche. I punti individuati dalle rette [math]r_D, r_E, r_S sono i vertici del triangolo richiesto

do per buona la costruzione della circonferenza per tre punti.
Siano [math]B, C i vertici dati, sia [math]r la retta data. Costruisco l'asse di $ BC $ e ne considero l'intersezione [math]Dcon [math]r. Costruisco la circoscritta [math]Γ a [math]BCD. Allora l'intersezione fra[math]r e [math]Γ è il vertice mancante.

Denoto con $P$ il piede della bisettrice uscente da $A$ sul lato $BC$.
Costruisco la circonferenza di Apollonio relativa a $BC$ passante per $P$: l'altra intersezione con la bisettrice data è il vertice $A$.