Questo problema mi tortura.
In un triangolo $ ABC $ l'excerchio $ \omega_A $ é tangente al lato $ BC $ nel punto $ D $, ed é tangente ai prolungamenti dei lati $ AB $ ed $ AC $ nei punti $ E $ ed $ F $, rispettivamente. Siano $ P $ la
proiezione di $ D $ su $ EF $, $ M $ il punto medio di $ EF $, e $ \Gamma $ la circonferenza circoscritta ad $ ABC $.
Dimostrare che $ P $ sta su $ \Gamma $ se e solo se $ M $ sta su $ \Gamma $.
P.S. Ovviamente la soluzione deve essere in sintetica
P.P.S. É TST Preimo 2010 problema 6
Invoco i Pro
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Un giorno di questi mi metteranno in prigione per aver stuprato troppi problemi.
Re: Invoco i Pro
Ti propongo una strada per la soluzione, se poi la trovi sei tenuto moralmente a scriverla qui integralmente!
Se poi invece ti serve un altro aiuto non esitare a chiederlo.
Sia $N$ il punto medio dell'arco $BC$, sia $X=BC\cap EF$.
Sia $S$ la seconda intersezione di $NX$ con $\Gamma$.
Dimostra che $\angle NSD=90^{\circ}$.
Se poi invece ti serve un altro aiuto non esitare a chiederlo.
Sia $N$ il punto medio dell'arco $BC$, sia $X=BC\cap EF$.
Sia $S$ la seconda intersezione di $NX$ con $\Gamma$.
Dimostra che $\angle NSD=90^{\circ}$.
...tristezza ed ottimismo... ed ironia...
Io ti racconto lo squallore di una vita vissuta a ore di gente che non sa più far l'amore...
"Allora impara a fare meno il ruffiano. Io non lo faccio mai e guarda come sono ganzo" Tibor Gallai
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Re: Invoco i Pro
Alternativamente:
Considera il cerchio dei nove punti di $ DEF $: questo ha sempre due punti in comune con $ \odot(ABC) $ , di certo diversi da $ P,M $.
Questo andrebbe giustificato per bene
Cosa succede se questi due cerchi hanno un terzo punto comune?
Considera il cerchio dei nove punti di $ DEF $: questo ha sempre due punti in comune con $ \odot(ABC) $ , di certo diversi da $ P,M $.
Questo andrebbe giustificato per bene
Testo nascosto:
Re: Invoco i Pro
Grazie mille !! Inizio a scrivere la soluzione di dario2994, ma se riuscirò a trovare anche quella di Sala la scriverò.
Testo nascosto:
Un giorno di questi mi metteranno in prigione per aver stuprato troppi problemi.
Re: Invoco i Pro
Ed ecco la Meravigliosa soluzione di Sala.
P.S. Scritta come ho fatto io (= da cane) ha perso la sua bellezza, ma ho dovuto scriverla così per non dare per scontato che $ \Gamma $ e $ \Gamma ' $ hanno almeno due punti in comune
Testo nascosto:
Un giorno di questi mi metteranno in prigione per aver stuprato troppi problemi.