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Io conosco solo due modi per dimostrare che un quadrilatero è ciclico: dimostrare che la somma di due suoi angoli opposti è 180 gradi o dimostrare che tutti i suoi vertici sono equidistanti da un punto (Che sarà poi il centro della circonferenza).
Volevo chiedere, ne esistono altri? Se si, quali sono?

Il Teorema di Tolomeo dovrebbe essere un altro modo, se non sbaglio

Grazie mille.
A qualcuno vengono in mente altri?

Ed a proposito, in una gara di Febbraio o un Cesenatico, posso dare per scontato il teorema di Tolomeo o devo dimostrarlo?

Puoi darlo per scontato in tutti e due, direi.

Grazie mille!

Beh, se vuoi c'è anche Simson: dati i quattro punti $A$, $B$, $C$ e $D$, formano un quadrilatero ciclico se e solo se le tre proiezioni di $D$ sui lati $AB$, $BC$ e $CA$ sono allineate.

Non lo trovo on line :/

Prova a cercare Retta di Simson, dovresti trovarla.

Gentiles pueri,

Potest darsi quae lo meo laboro sullo Metodo Analitico est etiam parvus notus in codesti loci (quamquam ego habet iam provveduto a docerne le fondamenta), nam niuno habet favellato di scribere cum diligentia la equatione dello Unico Circolo Perfecto quae passat pelli tres puncti quae plus eunt ad nostrum Genium (cum omnia spem benignum!) et substituere le coordinate (modestamente) Cartesiane dello puncto mancante in detta equatione, cur observare cum nostra maxima felicitas quae la expressione est aequale ad nihilo.

Ex nihilo nihil fit, ergo lo puncto est a fortiori vinculatus sulla circumferentia solum in codesta circumstantia!

Vestra fideliter Renatus Cartesius.

Oppure potresti prolungare due lati (WLOG $AB$ e $CD$) fino ad incontrasi e chiamare quel punto $P$ , poi fai vedere in conti che
$ PA*PB=PD*PC $ che è tipo il teorema delle secanti o la potenza di $P$ rispetto al cerchio circoscritto ad $ABCD$

Dato che sono entrate in ballo le coordinate, quel lavoro si può fare con qualsiasi tipo di coordinate, non solo con le cartesiane.
Con la potenza invece si possono anche intersecare le diagonali e dimostrare la stessa cosa dei prolungamenti.

Inoltre se si hanno 4 punti $ABCD$ con $C,D$ dalla stessa parte rispetto alla retta $A,B$ tali che $\angle ADB=\angle ACB$ con una breve dimostrazione si dimostra che è ciclico.

Grazie a tutti per l'aiuto, sono tutti ottimi consigli.