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[Ammissione WC16] Geometria 3: Punti medi allineati

Inviato: 30 dic 2015, 22:49
da Talete
NON pubblicate la soluzione prima delle 23:59 di oggi!

Sia $ABC$ un triangolo acutangolo, $O$ il suo circocentro, $\Gamma$ la circonferenza circoscritta. Sia $D$ un punto su $BC$ tale che $\angle BAD = \angle CAO$. Sia $E$ il secondo punto di intersezione di $AD$ e $\Gamma$. Se $M$, $N$ e $P$ sono rispettivamente i punti medi dei segmenti $BE$, $OD$ e $AC$, dimostrare che sono allineati $M$, $N$ e $P$.

Re: [Ammissione WC16] Geometria 3: Punti medi allineati

Inviato: 31 dic 2015, 15:03
da AlexThirty
Cosa sappiamo dire sul poligono delimitato da
Testo nascosto:
Punti medi di due lati opposti e punti medi delle diagonali?

Re: [Ammissione WC16] Geometria 3: Punti medi allineati

Inviato: 31 dic 2015, 15:16
da Talete
Non ho ben capito la tua, ma secondo me è d'uopo chiedersi:
Testo nascosto:
$OPDM$ è un parallelogramma?

Re: [Ammissione WC16] Geometria 3: Punti medi allineati

Inviato: 31 dic 2015, 18:13
da Saro00
E se aggiungessi che
Testo nascosto:
Fatto noto (legato alla retta di Eulero) é che il segmento che unisce H (ortocentro) e A é il doppio del segmento che unisce O (circocentro) e P (punto medio di BC)

Re: [Ammissione WC16] Geometria 3: Punti medi allineati

Inviato: 06 gen 2016, 13:54
da lucada23
guardando il testo ho pensato: non è che i complessi sono la strada più facile e veloce? Del resto punti medi, circocentro e circonferenze non sono bruttissimi ( i conti sono pesantemente omessi XD)
Testo nascosto:
Poniamo l'origine del piano nel circocentro $ o $ del triangolo dato.
Senza perdita di generalità sia $ b=1 $.
Sappiamo che $ d $ deve appartenere alla retta $ bc $, ma è anche tale per cui deve accadere che
\begin{equation}
\widehat{cao}\cong \widehat{dab}
\end{equation}
per cui
\begin{equation}
\left\lbrace
\begin{aligned}
\dfrac{d-1}{c-1} &=\dfrac{\bar{d}-1}{\bar{c}-1}\\
2\arg \left(\dfrac{c-a}{o-a}\right) &= 2\arg \left(\dfrac{d-a}{1-a}\right)
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
da cui si ricava che
\begin{equation}
d=\dfrac{a^{2}+(a-c)+ac}{2a}
\end{equation}
Calcoliamo ora il valore di $ e $.
Sappiamo che $ e\in \Gamma $, e che $ e $ appartiene alla retta $ ad $, per cui avremo
\begin{equation}
\left\lbrace
\begin{aligned}
e\bar{e} &=1 \\
\dfrac{e-a}{d-a} &= \dfrac{\bar{e}-\bar{a}}{\bar{d}-\bar{a}}
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
quindi abbiamo che
\begin{equation}
-ea= \dfrac{d-a}{\bar{d}-\bar{a}}
\end{equation}
per cui $e=-\dfrac{c}{a}$
poiché $ m $, $ n $ e $ p $ sono i punti medi di $ be $, $ od $ e $ ac $ si ha che
\begin{equation}
m=\dfrac{e+1}{2}=\dfrac{a-c}{2a}
\end{equation}
\begin{equation}
p=\dfrac{a+c}{2}
\end{equation}
\begin{equation}
n=\dfrac{d+o}{2}=\dfrac{a^{2}+(a-c)+ac}{4a}
\end{equation}
Mostriamo che $ m $, $ n $ e $ p $ sono sulla stesa retta
\begin{equation}
\dfrac{n-m}{p-m}=\dfrac{\bar{n}-\bar{m}}{\bar{p}-\bar{m}}
\end{equation}
Calcoliamo separatamente il primo ed il secondo membro per dimostrarne l'uguaglianza.
\begin{equation}
\dfrac{n-m}{p-m} =\dfrac{1}{2}
\end{equation}
e
\begin{equation}
\dfrac{\bar{n}-\bar{m}}{\bar{p}-\bar{m}} =\dfrac{1}{2}
\end{equation}
CVD

Re: [Ammissione WC16] Geometria 3: Punti medi allineati

Inviato: 07 gen 2016, 14:28
da Kepler97
Scusate se non metto testo nascosto ma non so come si fa...
Una piccola cosa che velocizza la soluzione in complessi (comunque corta) è notare che $E$ è il simmetrico di $ H$ rispetto a $D$, trovi $d$ e sai che $h=a+b+c$ quindi dopo trovi $E$ dalla relazione $ \frac{h+e}{2}=d $
Per il resto la mia soluzione è uguale a quella di lucada23 :wink: