[Ammissione WC16] Geometria 2: Tante circonferenze tangenti

[Talete]

NON pubblicate la soluzione prima delle 23:59 di oggi!

Sia $ABC$ un triangolo con incentro $I$ e incerchio $\omega$. Sia $\omega_A$ la circonferenza tangente esternamente a $\omega$ e tangente ai lati $AB$ e $AC$ nei punti $A_1$ e $A_2$ rispettivamente. Sia $r_A$ la retta $A_1A_2$. Si definiscano $r_B$ e $r_C$ in maniera analoga. Le rette $r_A$, $r_B$ e $r_C$ individuano il triangolo $XYZ$. Dimostrare che l’incentro di $XYZ$, il circocentro di $XYZ$ e $I$ sono allineati.

[Federico II]

Non l'ho mandato ma

Testo nascosto:

Siano $D,E,F$ i punti di tangenza dell'inscritta con i lati, $XYZ$ e $DEF$ hanno i lati paralleli

Testo nascosto:

Il problema chiede di dimostrare che le rette $OI$ di questi due triangoli coincidono

Testo nascosto:

Dalla figura pare che gli incentri dei due triangoli siano simmetrici rispetto a quello di $ABC$, ci basterebbe questo

Testo nascosto:

La bisettrice dell'angolo in $D$ passa per il punto medio dell'arco $EF$ di $\omega$ non contenente $D$, se quella dell'angolo in $X$ passasse per il diametralmente opposto (che chiamiamo $K$) sarebbe fatta

Testo nascosto:

Tracciamo la tangente in $K$ a $\omega$, interseca $BC$ in $P$, per questioni di angoli se prendi $Q$ simmetrico di $D$ rispetto a $P$ basta dimostrare che la famosa bisettrice passa per $Q$

Testo nascosto:

E questo viene con il teorema della bisettrice (e un po' di trigonometria)