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[Ammissione WC16] Geometria 1: Retta & Circonferenza

Inviato: 30 dic 2015, 22:48
da Talete
NON pubblicate la soluzione prima delle 23:59 di oggi!

Siano date $\Omega$, una circonferenza di centro $O$, e $r$ una retta ad essa esterna. Su $\Omega$ si prendano $P$, $Q$ e $S$ tre punti distinti e sia $H$ la proiezione di $O$ su $r$. Siano, in ordine,
• $T = PQ \cap r$
• $T'$ il simmetrico di $T$ rispetto ad $H$
• $S'$ la seconda intersezione di $T'S$ con $\Omega$
• $R = QS \cap r$
• $R'$ il simmetrico di $R$ rispetto ad $H$.
Mostrare che $R'$, $S'$ e $P$ sono allineati.

Re: [Ammissione WC16] Geometria 1: Retta & Circonferenza

Inviato: 31 dic 2015, 14:54
da AlexThirty
Ti piacciono i segmenti? Beh, questo viene tutto con
Testo nascosto:
Menelao e potenze di punti rispetto a circonferenze
Testo nascosto:
Le potenze di $ T' $ e $ T $ rispetto a $ \Omega $ sono uguali?

Re: [Ammissione WC16] Geometria 1: Retta & Circonferenza

Inviato: 31 dic 2015, 15:14
da Talete
Hmm vediamo un po'
Testo nascosto:
Fai una polarità rispetto alla circonferenza. Il resto è baricentriche.
Testo nascosto:
Proiettività che lascia lì la circonferenza e manda la retta in quella all'infinito

Re: [Ammissione WC16] Geometria 1: Retta & Circonferenza

Inviato: 31 dic 2015, 15:17
da AlexThirty
Non sono bravo in nessuno dei due metodi, ho preferito usare due pagine e mezza tra frazioni e altro :lol:

Re: [Ammissione WC16] Geometria 1: Retta & Circonferenza

Inviato: 31 dic 2015, 15:30
da alegh
Concordo con Talete: inizio con
Testo nascosto:
polari
ma evito
Testo nascosto:
baricentriche!
e uso
Testo nascosto:
inversione
e poi chiudo con il classico
Testo nascosto:
angle-chasing :wink:
P.S. sempre che la mia soluzione funzioni!! :roll:

Re: [Ammissione WC16] Geometria 1: Retta & Circonferenza

Inviato: 31 dic 2015, 16:08
da Talete
Ah ecco ancora più bello... sì infatti le baricentriche erano piuttosto brutte da vedersi, in un problema del genere ;)

Re: [Ammissione WC16] Geometria 1: Retta & Circonferenza

Inviato: 31 dic 2015, 18:08
da Saro00
Attenzione che se usi Menelao (almeno nella mia soluzione) devi farti anche il caso in cui due rette sono parallele e quindi non puoi definire il punto che definisci per Menelao!
P.S. io ho usato anche teorema dei seni.

Re: [Ammissione WC16] Geometria 1: Retta & Circonferenza

Inviato: 31 dic 2015, 19:19
da Federico II
Scusate ma...
Testo nascosto:
$T$ e $T'$ sono simmetrici anche rispetto alla retta $OH$ e così anche $R$ e $R'$
Testo nascosto:
Costruisci i simmetrici di $P,Q,S$ rispetto ad $OH$, che giacciono su $\Omega$
Testo nascosto:
Ribalti il problema come "prendi l'intersezione tra $T'S$ e $R'P$ e dimostra che sta su $\Omega$"
Testo nascosto:
E da qui viene per angle chasing con un paio di quadrilateri ciclici