Una semplice concorrenza

[Gerald Lambeau]

Siano dato due circonferenze $\Gamma_1$ e $\Gamma_2$ di centri, rispettivamente, $O_1$ e $O_2$. Sia dato un punto $P_1$ appartenente a $\Gamma_1$, si costruisca $P_2$ su $\Gamma_2$ nel seguente modo: tracciare la parallela a $O_1P_1$ passante per $O_2$ e, dati i due punti individuati da questa retta su $\Gamma_2$, si definisce $P_2$ il punto sulla parte di piano opposta a $P_1$ rispetto alla retta $O_1O_2$. Dimostrare che, al variare di $P_1$ su $\Gamma_1$, i vari segmenti $P_1P_2$ concorrono.

[matpro98]

Testo nascosto:

omotetia

[Gerald Lambeau]

L'ho fatto diversamente, non potresti essere più esplicito?

[Talete]

Hmm, provo io a spiegare quello che intende Matteo, sperando di intuire la sua idea.

Considero il punto $R$, definito come il centro di similitudine tra $\Gamma_1$ e $\Gamma_2$. Claimo sia $R$ il punto magico per cui passano tutte le $P_1P_2$ (in realtà si vede parecchio ad occhio, se si fa il disegno).

Considero la trasformazione del piano nel piano $\psi$, che è un'omotetia di centro $R$ e ragione $-\displaystyle\frac{|O_2R|}{|O_1R|}$.

Ho che $\psi(O_1)=O_2$, il che è piuttosto palese. Per il resto, $\psi(P_1)$ è l'intersezione tra $P_1R$ e $\Gamma_2$, tale intersezione è unica poiché $P_1R$ tange $\Gamma_2$.

Sarei felice se $\psi(P_1)=P_2$. Perché? Perché avrei così dimostrato che $P_1P_2$, al variare di $P_1$ su $\Gamma_1$, passa sempre per il punto $R$.

So che $P_2$ e $\psi(P_1)$ stanno dalla stessa parte del piano rispetto alla retta $O_1O_2$ (dato che $R$ appartiene a questa retta). Mi basterebbe dimostrare che $|P_2R|=|\psi(P_1)R|$.

Ora, $|\psi(P_1)R|$ lo posso calcolare con la formula della distanza sotto omotetia. Dunque viene \[|\psi(P_1)R|=\frac{|P_1R|\cdot|O_2R|}{|O_1R|}.\]

Inoltre, so che $P_2O_2$ è parallelo a $P_1O_1$. Quindi, per la prima volta dopo un anno e mezzo che sono sul forum, posso applicare il mio teorema ( ). Ed ora possiamo concludere: ho ottenuto che \[|P_2R|=\frac{|P_1R|\cdot|O_2R|}{|O_1R|},\]
che era la tesi.

Spero di aver interpretato bene l'idea "omotetia". La tua soluzione "diversa" com'è?

[igoh]

Propongo anche la mia perché molto breve.
Chiamato $R$ l'intersezione di $O_1O_2$ con $P_1P_2$ i triangoli $O_1RP_1$ e $O_2RP_2$ sono evidentemente simili.
Il loro rapporto di similitudine è il rapporto di due lati corrispondenti come lo sono $O_1P_1$ e $O_2P_2$ il cui rapporto pero è una costante al variare di $P_1$ quindi, anche quello tra $O_1R$ e $O_2R$ lo sarà che equivale al fatto che i vari segmenti $P_1P_2$ passano per $R$.

[Gerald Lambeau]

Considero le due parallele $O_1P_1$ e $O_2P_2$ tagliate dalle trasversali $O_1O_2$ e $P_1P_2$, sia $R=O_1O_2 \cap P_1P_2$, voglio dimostrare che $R$ è fisso.
Per le ovvie considerazioni di triangoli simili vale, per ogni possibile $P_1$, $\displaystyle \frac{P_1O_1}{P_2O_2}=\frac{O_1R}{O_2R}$, ma la frazione all'$LHS$ sono i raggi delle circonferenze che sono costanti, e anche il valore $O_1O_2$ è costante, quindi:
sia $O_1R+O_2R=l$
sia $\displaystyle \frac{O_1R}{O_2R}=k$
con $l$ e $k$ fissi, si ha $\displaystyle \frac{O_1R}{O_2R}+1=\frac{l}{O_2R} \Rightarrow k+1=\frac{l}{O_2R} \Rightarrow O_2R=\frac{l}{k+1}$, quindi la distanza di $R$ dai due centri è fissa, quindi $R$ è fisso $q. e. d.$.

[Mountains Drew]

Considero il punto $R$, definito come l'intersezione tra la retta $O_1O_2$ e l'asse radicale di $\Gamma_1$ e $\Gamma_2$. Claimo sia $R$ il punto magico per cui passano tutte le $P_1P_2$ (in realtà si vede parecchio ad occhio, se si fa il disegno).

Direi di no... Il "punto magico" è uno dei due centri di omotetia (quello tra $O_1$ e $O_2$), che non è sull'asse radicale (in genere).

Comunque con l'omotetia si può fare anche molto breve:

presupponendo che sappiamo che esistono due omotetie (una di ragione positiva e una negativa) che mandano una circonferenza in un'altra qualsiasi, consideriamo quella di ragione negativa che manda $\Gamma_1 \rightarrow \Gamma_2$, essa manda anche
$O_1 \rightarrow O_2$,
$P_1O_1 \rightarrow $ parallela a $P_1O_1$ passante per $O_2$ = $O_2P_2$
quindi $P_1 \in O_1P_1 \cap \Gamma_1 \rightarrow O_2P_2 \cap \Gamma_2 \ni P_2$
E l'intersezione è quella giusta perchè $P_1,P_2$ in semipiani opposti, quindi $P_1 \rightarrow P_2$, quindi $P_1,P_2$ allineati con il centro di omotetia, che è fisso al variare di $P_1$

[Talete]

Ah, guarda un po'... ero convinto che l'intersezione di $O_1O_2$ e l'asse radicale fosse sempre l'intersezione tra le due tangenti comuni... infatti le proprietà di $R$ che ho usato derivavano tutte dall'essere centro di similitudine! Grazie, ora correggo

[matpro98]

Okay, la mia era praticamente quella di Mountains Drew