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TESI 1: Determinare nel piano di gauss l'equazione delle bisettrici interna ed esterna dato il vertice $\omega$ e due punti distinti $a$ e $b$ sui lati distinti, e determinare l'equazione semplificata nel caso in cui $ |\omega -a|=|\omega-b|=1 $.
TESI 2: Determinare nel piano di gauss l'equazione della bisettrice interna di tre punti $a,b,c$ il cui vertice è $c$ usando il teorema della bisettrice.

Nessun idea?

Ci va l'apostrofo.

Comunque, un'idea per la tesi 1 è considerare la bisettrice come luogo di punti equidistanti dalle rette $a\omega$ e $b\omega$, usando la distanza punto-retta. Per la tesi 2, il teorema della bisettrice qual è? Me ne vengono in mente un paio, non so a quale ti riferisci

Il teorema della bisettrice è quello classico usato in sintetica (la bisettrice divide il terzo lato in parti proporzionali agli altri due).

Potresti scrivere giusto un po' l'inizio? perché ci ho provato e mi viene una formula stana di secondo grado in $z$ e $\bar{z}$.

Dovrebbe essere giusto, perché tu hai sia una bisettrice interna che una esterna
Prova a guardare qua, dovrebbe chiarirti le idee: viewtopic.php?f=21&t=19056

non intendevo dire che fosse sbagliata, intendevo chiedere se fosse possibile scrivere un po' dei passaggi, così da raccapezzarmici ( per questo ho chiesto se fosse possibile scrivere giust'un po' di passaggi ) .
Sì ho visto tutti e due i pdf, e proprio in uno dei due veniva proposto il problema che ho postato. siccome non sto riuscendo a risolverlo qualcuno può darmi un hint (soprattutto sulla seconda tesi)?

Qualcuno in soccorso?

Perchè nessun soccorso?
Non vi piace l'esercizio o c'è un'altra ragione che io non riesco a comprendere?

Non capisco bene quale sia il tuo dubbio, hai una retta per due punti (quasi) dati, no? Dovrebbe bastare mettersi a fare i conti e vedere che esce.

Lasker ha scritto:Non capisco bene quale sia il tuo dubbio, hai una retta per due punti (quasi) dati, no? Dovrebbe bastare mettersi a fare i conti e vedere che esce.

Facendo i conti con i moduli (ho usato che $z\bar{z}=|z|^2$) delle distanze dalle rette ottengo che

$ (z-\omega)^2(\dfrac{\bar{a}-\bar{\omega}}{a-\omega} - \dfrac{\bar{b}-\bar{\omega}}{b-\omega})=(\bar{z}-\bar{\omega})^2(\dfrac{a-\omega}{\bar{a}-\bar{\omega}} - \dfrac{b-\omega}{\bar{b}-\bar{\omega}}) $

e da qui in poi non riesco a continuare.

Ma adesso che ho spiegato bene quale è il mio punto di blocco, c'è qualcuno che può darmi un aiuto? Grazie

1) Non mi sembra la tua formula sia corretta: prendi $\omega=0, b=1, a=i$ (cioè sto cercando le bisettrici dei 4 quadranti). Allora la tua formula dà
\[
z^2 (-1 -1) = \overline{z}^2 (-1-1),
\]
cioè $z = \pm \overline{z}$. Ma i numeri complessi che rispettano questa equazione sono esattamente i reali e quelli con parte reale nulla, cioè gli assi coordinati, e non le bisettrici dei 4 quadranti. Quindi mi sembra che qualcosa non vada. Se scrivi come hai trovato la formula magari (a) trovi da solo il problema e (b) in caso contrario qualcuno può aiutarti meglio.

2) Facciamo il caso più semplice: prendo $b=1$ e $\omega=0$ (tanto poi tutto si riconduce a questo caso - esercizio!): abbiamo la retta passante per $0$ e per $a$, e vogliamo le sue bisettrici. Ora, un complesso $z$ sta su una bisettrice di quest'angolo se e solo se $z^2$ è allineato con 0 e con $a$, perché l'angolo che $z^2$ forma con l'asse delle $x$ è il doppio dell'angolo che $z$ forma con l'asse delle $x$. Quindi la nostra condizione è che il il rapporto $z^2/a$ sia reale, il che accade se e solo se è uguale al suo complesso coniugato, o in formule se e solo se
\[
\frac{z^2}{a} = \frac{\overline{z}^2}{\overline{a}}.
\]
Questo si può riscrivere più simpaticamente come $\left( \frac{z}{\overline{z}} \right)^2 = \frac{a}{\overline{a}}$, che è quindi l'equazione delle nostre bisettrici. Se poi per caso $|a|=1$, allora $\overline{a}=1/a$, e l'equazione si semplifica ulteriormente in $\left( \frac{z}{\overline{z}} \right)^2 = a^2$, cioè $z/\overline{z} = \pm a$. Verifichiamo che quest'ultima equazione abbia senso. Se $a=e^{i\varphi}$, le bisettrici sono le rette che formano angoli $\varphi/2 + k\frac{\pi}{2}$ con l'asse $x$. Scriviamo $z=\rho e^{i\theta}$: la nostra equazione ci dice che $z/\overline{z}=e^{2i\vartheta}$ è uguale a $\pm e^{i\varphi} = e^{i\varphi + i k \pi}$, cioè che $e^{2i \vartheta}=e^{i \varphi + i k \pi} \Rightarrow 2\vartheta=\varphi + k\pi + 2h \pi$ (due numeri complessi con lo stesso modulo sono uguali se e solo se gli argomenti differiscono di un multiplo intero di $2\pi$). Troviamo infine $\vartheta=\varphi/2 + k \pi/2$, che è esattamente quello che volevamo (i multipli interi di $\pi$ non contano niente, visto che sto già aggiungendo i multipli interi di $\pi/2$).