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Osserviamo il triangolo $JCN$. $\widehat{JNC}=\widehat{MCB}$ per la tangenza, e allo stesso modo $\widehat{NJC}=\widehat{ACM}$. Per il teorema dei seni su $JNC$ abbiamo che

$$\frac{JC}{CN}=\frac{JC}{\frac{b}{2}} =\frac{\sin{JNC}}{\sin{NJC}}=\frac{\sin{BCM}}{\sin{MCA}}=\frac{b}{a}$$

Da cui $JB=\frac{b^2 + 2a^2}{2a}$. Visto che $AD=b \sin{\gamma}$, la cosa da minimizzare vale

$$\frac{b^2 + 2a^2}{2ab \sin{\gamma}}$$

Banalmente vale $\frac{b^2 + 2a^2}{2ab \sin{\gamma}} \geq \frac{b^2 + 2a^2}{2ab}$, con il caso di uguaglianza banalmente raggiunto se il triangolo e` retto in C (il triangolo si determina univocamente con $a$, $b$ e angolo in $C$).

Si tratta dunque di minimizzare

$$\frac{b^2 + 2a^2}{2ab}=\frac{1}{2}(\frac{b}{a}+\frac{2a}{b}) \geq \sqrt{2}$$

Dove l'ultima disuguaglianza segue per AM-GM, col caso di uguaglianza banalmente raggiunto se $b=\sqrt{2}a$.