84. Un Minimo Tangente

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Saro00
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84. Un Minimo Tangente

Messaggio da Saro00 » 19 nov 2015, 18:00

Sia $ ABC $ un triangolo e siano $ M, \, N $ i punti medi di $ AB $, $ AC $ e $ D $ il piede dell'altezza uscente da $ A $.
Sia $ \Gamma $ la circonferenza tangennte alla retta $ MC $ in $ C $ che passa per $ N $.
Sia $ J \equiv \Gamma \cap BC $.
Trovare il minimo di $ \displaystyle\frac{JB}{AD} $.
Un giorno di questi mi metteranno in prigione per aver stuprato troppi problemi. 8)

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Kfp
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Re: 84. Un Minimo Tangente

Messaggio da Kfp » 20 nov 2015, 15:53

Allora zio
Testo nascosto:
Osserviamo il triangolo $JCN$. $\widehat{JNC}=\widehat{MCB}$ per la tangenza, e allo stesso modo $\widehat{NJC}=\widehat{ACM}$. Per il teorema dei seni su $JNC$ abbiamo che

$$\frac{JC}{CN}=\frac{JC}{\frac{b}{2}} =\frac{\sin{JNC}}{\sin{NJC}}=\frac{\sin{BCM}}{\sin{MCA}}=\frac{b}{a}$$

Da cui $JB=\frac{b^2 + 2a^2}{2a}$. Visto che $AD=b \sin{\gamma}$, la cosa da minimizzare vale

$$\frac{b^2 + 2a^2}{2ab \sin{\gamma}}$$

Banalmente vale $\frac{b^2 + 2a^2}{2ab \sin{\gamma}} \geq \frac{b^2 + 2a^2}{2ab}$, con il caso di uguaglianza banalmente raggiunto se il triangolo e` retto in C (il triangolo si determina univocamente con $a$, $b$ e angolo in $C$).

Si tratta dunque di minimizzare

$$\frac{b^2 + 2a^2}{2ab}=\frac{1}{2}(\frac{b}{a}+\frac{2a}{b}) \geq \sqrt{2}$$

Dove l'ultima disuguaglianza segue per AM-GM, col caso di uguaglianza banalmente raggiunto se $b=\sqrt{2}a$.
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Re: 84. Un Minimo Tangente

Messaggio da Saro00 » 20 nov 2015, 17:40

Giusta zio 8)
Però, c'é anche una soluzione in sintetica che però é praticamente uguale alla tua :D
Un giorno di questi mi metteranno in prigione per aver stuprato troppi problemi. 8)

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Re: 84. Un Minimo Tangente

Messaggio da Saro00 » 24 nov 2015, 19:06

Era sottinteso che tu potessi andare con il prossimo :D
Un giorno di questi mi metteranno in prigione per aver stuprato troppi problemi. 8)

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Re: 84. Un Minimo Tangente

Messaggio da Kfp » 25 nov 2015, 17:17

Sìsì, sono ancora indeciso su cosa mettere. A breve arriva
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