83. Castelli per aria

[Talete]

È facile, quindi non bruciatelo subito.

Sia $ABC$ un triangolo e $P$ un punto al suo interno. Siano $D$ ed $E$ i piedi delle ceviane $BP$ e $CP$ nel triangolo $ABC$ e sa $M$ l'intersezione delle circoscritte ai due triangoli $BPE$ e $CPD$. Siano ora $F$ e $G$ le intersezioni dell'inscritta al triangolo $PBC$ rispettivamente con i segmenti $PC$ e $BC$. Sia dunque $H$ l'intersezione tra $BC$ e la simmediana uscente da $E$ nel triangolo $EPB$; sia infine $X$ l'intersezione tra la circoscritta al triangolo $FGH$ e $HM$. Dimostrare che $APDE$ è ciclico se e solo se $X$ appartiene alla retta $BC$.

C'è un sacco di robaccia inutile ai fini del problema, tutto sta nel capire cosa serve davvero...

[Saro00]

Finalmente ho deciso di disegnare tutta quella robaccia inutile...

Testo nascosto:

Innanzitutto, si può facilmente notare che $ X $ appartiene a $ BC $ se e solo se la retta $ HM $ coincide con la retta $ BC $, ovvero se e solo se $ M $ appartiene a $ BC $.
1. Se $ M $ appartiene a $ BC $ allora $ APDE $ è ciclico.
Dimostrazione: Per le seguenti uguaglianze sfrutto le ciclicità di $ BMPE $ e $ CMPD $ e l'allineamento di $ B, M, C $.
$ \pi = \angle BMP + \angle PMC = \angle PEA + \angle PDA $, quindi $ PDAE $ è ciclico.
2. Se $ PDAE $ è ciclico, allora $ B, \, M, \, C $ sono allineati
Dimostrazione: Per le seguenti uguaglianze sfrutto le ciclicità di $ ADPE $, $ EPMB $, $ DPMC $.
$ \pi = \angle PEA + \angle PDA = \angle PMB + \angle PMC $, quindi $ B $, $ M $, $ C $ sono allineati.

[Talete]

Sì sì va bene, puoi andare