Due incerchi tangenti

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karlosson_sul_tetto
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Due incerchi tangenti

Messaggio da karlosson_sul_tetto » 08 nov 2015, 11:15

Sia $ABC$ un triangolo e siano $D,E,F$ i punti di tangenza dell'incerchio su $AB, BC, AC$ rispettivamente.
Sia X un altro un punto del piano tale che l'incerchio di $XBC$ tange $BC$ in $D$; $Y$ e $Z$ sono i punti di tangenza del suddetto incerchio con i lati $XC, XB$. Dimostrare che il quadrilatero $EFYZ$ è ciclico.
"Inequality happens"
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Saro00
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Re: Due incerchi tangenti

Messaggio da Saro00 » 08 nov 2015, 19:13

Facile, ma carino
Testo nascosto:
Da ora in poi uso gli angoli orientati.
Sia $ G $ il centro della circonferenza passante per $ D $, $ Y $, $ Z $.
Per il teorema delle tangenti si ha che $ BD=BF=BZ $ e $ CE=CD=CY $.
Quindi per $ Z, F, D $ passa una circonferenza che ha centro in $ B $ e per $ Y, E, D $ passa una circonferenza che ha centro in $ C $.
Inoltre $ IDCE $, $ IDBF $, $ IFAE $, $ GDCY $, $ GDBZ $, $ GZXY $ sono ciclici in quanto $ ID\equiv GD \bot CB $ e cicliche.
$ \measuredangle YED = \frac{1}{2}\measuredangle YCD $
$ \measuredangle DEF = \frac{1}{2}\measuredangle DIF = \frac{1}{2} \measuredangle DBF $
$ \measuredangle YEF = \measuredangle YED + \measuredangle DEF = \frac{1}{2}\measuredangle YCD + \frac{1}{2} \measuredangle DBF $
$ \measuredangle FZD = \frac{1}{2} \measuredangle FBD $
$ \measuredangle XZY = \measuredangle XGY = \frac{1}{2}\measuredangle ZGY $
$ \measuredangle DZB =\measuredangle DGB = \frac{1}{2}\measuredangle DGZ $
$ \measuredangle DZB + \measuredangle XZY = \frac{1}{2}(\measuredangle DGZ + \measuredangle ZGY) = \frac{1}{2}(2\pi - \measuredangle YGD)= \measuredangle DGY $
$ \measuredangle YZF = \pi - ( \measuredangle DZB +\measuredangle XZY) - \measuredangle FZD = \frac{1}{2}\measuredangle YCD + \frac{1}{2}\measuredangle DBF $
Essendo $ \measuredangle YEF =\frac{1}{2}\measuredangle YCD + \frac{1}{2} \measuredangle DBF =\measuredangle YZF $, $ EFYZ $ è ciclico.
Un giorno di questi mi metteranno in prigione per aver stuprato troppi problemi. 8)

Mountains Drew
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Re: Due incerchi tangenti

Messaggio da Mountains Drew » 10 nov 2015, 16:05

oppure
Testo nascosto:
$BF=BD=BZ$ e $CE=CD=CY$ quindi ho le altre due circonferenze $\odot FDZ, \odot EDY$ per $D$, una tangente all'altra e con congiungente dei centri $BC$ perpendicolare alla congiungente dei centri dei due incerchi.
Quindi ho 4 circonferenze per $D$, i cui centri sono su 2 rette perpendicolari (2 su una e 2 sull'altra) passanti per $D$. E devo dimostrare che i 4 punti di intersezione tra loro (diversi da $D$) stanno su una circonferenza.
Inverto in $D$ con raggio qualsiasi. Le 4 circonferenze vanno in 4 rette: 2 parallele a $BC$ e 2 perpendicolari a $BC$ e i punti di intersezione vanno in vertici di un rettangolo, che è ciclico.

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