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Sia ABCD un quadrilatero ciclico (in quest'ordine sulla circoscritta), $F=AC\bigcap BD$ e $E=AD\bigcap BC$ in modo che B,C,E siano allineati in quest'ordine. Sia M il punto medio di CD e $N\neq M$ un punto appartenente alla circoscritta di $ABM$ tale che $\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NB}$. Dimostrare che E,F,N sono allineati.

Allora:
FATTO NOTO
$N$ è l'intersezione della circoscritta ad $ABM$ e la simmediana uscente da $M$ in $ABM$.
Chiamiamo $AB=c,AM=b,BM=a$.
Ora BARICENTRICHE su $ABM$. Da quanto detto $N=(2a^2,2b^2,-c^2)$.
Prendiamo ora $C=(u,v,w)$ , si ricava $D=(-u,-v,2u+2v+w)$ ($M$ è il punto medio di $CD$).
Dal fatto che $ABCD$ è ciclico si ha $w(a^2v+b^2u)(2u+2v+w)+c^2uv(u+v)=0$.
Intersecando rette si ha $$E=(u(2u+2v+w),-vw,w(2u+2v+2w))$$ e $$F=(-uw,v(2u+2v+w),w(2u+2v+w))$$ basta ora quindi fare un determinante che risulta essere vero! (I conti sono lasciati al lettore)

Come spoilerare l'idea base di un problema e allo stesso tempo non risolverlo minimamente.