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Sia $ ABC $ un triangolo e sia $ \Gamma $ la circonferenza inscritta in $ ABC $ che è tangente al lato $ AB $ del triangolo nel punto $ T $. Sia $ D $ il punto di $ \Gamma $ diametralmente opposto a $ T $, e sia $ S $ il punto di intersezione della retta passante per $ C $ e per $ D $ con il lato $ AB $.
Dimostrare che $ AT=SB $.

Esiste un omotetia che manda l'incerchio di ABC nel suo excerchio (quello opposto ad A). Chiamiamolo $w_a$. Chiaramente $S$ è il punto di tangenza di $w_a$ con $BC$. Chiamiamo $F$ e $G$ i punti in cui $w_a$ tocca $CA$ e $CB$ rispettivamente. Ma allora vale $CF=CG$. Chiamo $T'$ e $T''$ i punti in cui l'incerchio di ABC tocca i lati $CA$ e $CB$ rispettivamente. Dall'uguaglianza $CF=CG$ ricavo $CT' + T'A + AF = CT'' + T''B + BG$. Ma $CT' = CT''$ , $T'A = AT$ ,$T''B = BT$, $AF=AS$,$BG=BS$ quindi sostituisco ed ho $AT+AS = BT +BS$. Ora WLOG $AC \leq BC$ , quindi $AT < AS$. Ma quindi vale $AS=AT+TS$ e $BT=BS+TS$. Sostituisco ed ho $2AT + TS = 2BS + TS$ e quindi $AT=BS$. CVD.

Come mai S è sicuramente il punto di tangenza dell'excerchio con il triangolo?