79. IMO Longlist 1992

[erFuricksen]

Vediamo se qualcuno trova un modo più intelligente del mio per farlo

Sia $C$ una circonferenza nel piano, $L$ una retta tangente ad essa e $M$ un punto su $L$. Trovare il luogo geometrico di punti $P$ con la seguente proprietà: esistono $Q$ e $R$ su $L$ tali che $M$ è il punto medio di $QR$ e $C$ è la circonferenza inscritta al triangolo $PQR$

[Giovanni_98]

Bhe vi è un lemma molto carino (che si dimostra facilmente) che in pratica distrugge il problema.

Lemma :

Testo nascosto:

Sia $ABC$ un triangolo con $I$ incentro. Chiamiamo $D$ l'intersezione fra l'inscritta ad $ABC$ e il lato $BC$ (questo punto è ovviamente unico poichè $BC$ è tangente). Chiamiamo $E$ il punto diametralmente opposto a $D$ sull'inscritta e poi chiamiamo $F$ l'intersezione fra la retta $AE$ e il lato $BC$. Allora vale $BD=FC$.

Soluzione :

Testo nascosto:

Chiamiamo $T$ il punto di tangenza fra $L$ e $C$. Fissiamo $M$, allora individuiamo con $T'$ il punto diametralmente opposto a $T$ appartenente a $C$. Adesso la retta $r$ passante per il vertice opposto al lato risiedente su $L$ e il punto $T'$ deve intersecare il simmetrico di $T$ rispetto a $M$ con $L$, poichè per due punti passa una ed una sola retta, $r$ è unica. Da ciò consegue che $P \in r$ e quindi il luogo è proprio una retta.

[erFuricksen]

A naso direi che va bene quindi vai avanti