78. Rapporto di aree

[cip999]

Questo l'avrà già visto almeno mezzo forum, ma vabbè...

Sia $\triangle ABC$ un triangolo rettangolo in $C$; scegliamo un punto $P$ sull'arco $AC$ della circonferenza circoscritta che non contiene $B$. La retta perpendicolare a $CP$ e passante per $C$ incontra $AP$ e $BP$ in $K$ e $L$ rispettivamente. Dimostrare che il rapporto tra le aree di $\triangle BKL$ e $\triangle ACP$ non dipende da $P$.

[erFuricksen]

Mi sono sentito in diritto di risolverlo, non avendolo mai visto

questa è la mia soluzione, sperando che sia giusta:

Testo nascosto:

Prolunghiamo la retta $KL$ fino ad incontrare nuovamente la crf in $M \ne C$. Quindi $\angle PCL = \angle LBM = {\pi \over 2}$ , ma è anche vero che $\angle APB= \angle ACB = {\pi \over 2}$ , questo ci dice che $AP$ e $BM$ sono parallele e anche che il quadrilatero $APBM$ è un rettangolo, quindi vale anche che $AM$ e $PB$ sono parallele. Da queste cose ricaviamo che $[BMK]=[BMA]=[ABP]$ e che $[BML]=[BAL]$ , quindi che $[BKL]=[BMK]-[BML]=[ABP]-[BAL]=[APL]$.
Quindi il nostro rapporto diventa $${{[BKL]} \over {[ACP]}}={{[APL]} \over {[ACP]}}= {{{1 \over 2}AP \cdot PL} \over {{1 \over 2}AP \cdot CP \cdot \sin (\pi - \beta)}}={{PL} \over {CP \cdot \sin (\pi - \beta)}}$$
Ma ${{PL} \over {CP}}={1 \over {\cos \alpha}}$ , quindi ${{[BKL]} \over {[ACP]}}={1 \over {\sin (\pi - \beta) \cdot \cos \alpha}}$ , quindi dipende dagli angoli del tringolo $ABC$ e non da $P$. cvd

[cip999]

Giusta! A te il testimone