76. Simplex Ludus

[René Descartes]

Nuntio vobis gaudium magnum, habetis novo exercitio ut pungere lo vostro ingenio; longamente Nos quaesiveramus uno exercitio satis elementaris ut continuare la cosiddetta "staffetta", et ad finem la nostra quéte est iunta allo crepuscolo.

Consideramus uno triangulus $\triangle ABC$ in quo $AB\cong 2AC$, et sit $M$ lo puncto medio dello segmentus $AB$. Nomato $E$ lo puncto medio dello segmentus medianus $CM$, consideramus la recta $EF$ ($F\in AC$) perpendiculare ad latum $AC$ et sit $D$ lo puncto mediano dello segmento $EF$. Nomato ad finem $G$ lo puncto della intersectione tra le recte $AD$ et $MF$, demonstrare ut lo quadrilaterus $GAME$ est inscribibile in uno circolo.

Confidamus ut codesto esercitio sit utile ad lo vestro addestramento, et nuntio finalmente ut si la mea (ahimé cagionevole) salute lo vorrà permettere, erimus in oppidum Cesenaticum cum vobis per contendermi lo alloro di primus mathematicus nella peninsula.

Vestra fideliter Renatus Cartesius

Post Scriptum: juvenes, rimembrate semper che lo metodo analitico resolve omnis problema de la geometria tota.

[Troleito br00tal]

Sia $R$ il punto medio di $EC$. Chiaramente $CR \cdot CM=CE^2$. Inoltre, poiché $E \hat F C=C \hat E A$, $CE^2=CF \cdot CA$. Perciò $AFRM$ è ciclico. Ma allora $C \hat M F=C \hat A R$. Però $C \hat A R=E \hat A G$, poiché $AEF$ e $ACE$ sono simili. Quindi $E \hat A G=E \hat M G$, quindi $GAME$ è ciclico.

[matpro98]

Sembra una battaglia tra sintetica e analitica