Sia $ ABC $ un triangolo rettangolo in $ A $. L'altezza condotta da $ A $ ha lunghezza $ 12 $.
La bisettrice condotta da $ A $ ha lunghezza $ 13 $.
Determinare la lunghezza della mediana condotta da $ A $
Lunghezza della mediana
Re: Lunghezza della mediana
Hmm... sarò scemo ma a primo acchito azzarderei che un'idea sarebbe dire: l'altezza condotta da $A$ è la simmediana, dunque è la simmetrica della mediana rispetto alla bisettrice, dunque dai qualcosa si ricava, no?
Sennò facendo conti si risolve, credo
Sennò facendo conti si risolve, credo
"Sei il Ballini della situazione" -- Nikkio
"Meriti la menzione di sdegno" -- troppa gente
"Sei arrivato 69esimo? Ottima posizione!" -- Andrea M. (che non è Andrea Monti, come certa gente pensa)
"Se ti interessa stanno inventando le baricentriche elettroniche, che dovrebbero aiutare a smettere..." -- Bernardo
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"Sei arrivato 69esimo? Ottima posizione!" -- Andrea M. (che non è Andrea Monti, come certa gente pensa)
"Se ti interessa stanno inventando le baricentriche elettroniche, che dovrebbero aiutare a smettere..." -- Bernardo
Re: Lunghezza della mediana
Alla simmediana non avevo pensato Vedrò se mi viene fuori qualcosa.
Un pò di conti li ho provati: ma il punto è proprio questo, non era venuto fuori nulla. Ho provato ad usare soprattutto la trigonometria, perché si suggeriva di usarla, ma non mi è venuto fuori nulla di buono
Un pò di conti li ho provati: ma il punto è proprio questo, non era venuto fuori nulla. Ho provato ad usare soprattutto la trigonometria, perché si suggeriva di usarla, ma non mi è venuto fuori nulla di buono
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Re: Lunghezza della mediana
Con un po di passaggi abbastanza semplici dovresti arrivare a dire che
$ mediana=R=\frac{6}{\sin \beta \cdot \sin \gamma} $
Dove $ R $ è il raggio della circonferenza circoscritta e $ \beta, \gamma $ sono gli angoli in $ B, C $, ma da qua non riesco a continuare
$ mediana=R=\frac{6}{\sin \beta \cdot \sin \gamma} $
Dove $ R $ è il raggio della circonferenza circoscritta e $ \beta, \gamma $ sono gli angoli in $ B, C $, ma da qua non riesco a continuare
Un bresciano esportato nel cremonese
-"Dal palazzo di giustizia di Catania o esci con più soldi di prima, o non esci proprio"
-"Baroni uscirebbe con un Win - Win".
Tutti si mettono a ridere, e allora intuisco che non aveva detto "Weed - Win" come avevo capito.
-"Dal palazzo di giustizia di Catania o esci con più soldi di prima, o non esci proprio"
-"Baroni uscirebbe con un Win - Win".
Tutti si mettono a ridere, e allora intuisco che non aveva detto "Weed - Win" come avevo capito.
Re: Lunghezza della mediana
Metto la mia soluzione
P.S. Spero di non aver sbagliato i conti
Testo nascosto:
Un giorno di questi mi metteranno in prigione per aver stuprato troppi problemi.
Re: Lunghezza della mediana
Ho ottenuto la stessa soluzione con un po' di trigonometria e conti
Sia $ AB $ il cateto minore, $ K $ e $ M $ rispettivamente i piedi della bisettrice e della mediana e $\alpha $ l'angolo $\widehat{ABC} $ allora $ \widehat{BKA}=\alpha-135 $ che applicando la formula di addizione fa $ \dfrac{\sqrt{2}}{2} (\sin \alpha + \cos \alpha) $ pero dalla definizione di seno applicata nel triangolo $ AHK $ sappiamo che$ \sin\alpha-135=\dfrac{\sqrt{2}}{2} (\sin \alpha + \cos \alpha)=\frac{AH}{AK}=\frac{12}{13}$. Uguagliando secondo e quarto membro e sostituendo $ \cos=\sqrt{1-\sin^{2}} $ si ottiene un'equazione di secondo grado che ha due soluzioni accettabili che corrispondono ai seni dei due angoli interni acuti ma per ipotesi essendo $ AB $ il cateto minore $ \sin\alpha $ deve essere il maggiore di questi valori cioè $\frac{17\sqrt{2}}{26]}$. Essendo $ ABM $ isoscele su $ AB \widehat{AMB}=180-2\alpha$ ma $ \sin 2\alpha=\sin 180-2\alpha $ quindi con la formula di duplicazione possiamo ottenere $\sin2\alpha=\frac{17*7}{169}$ quindi con la definizione di seno in $ HAM $ si ottiene $ AM=\frac{AH}{\sin2\alpha}=\frac{2028}{119} $
Sia $ AB $ il cateto minore, $ K $ e $ M $ rispettivamente i piedi della bisettrice e della mediana e $\alpha $ l'angolo $\widehat{ABC} $ allora $ \widehat{BKA}=\alpha-135 $ che applicando la formula di addizione fa $ \dfrac{\sqrt{2}}{2} (\sin \alpha + \cos \alpha) $ pero dalla definizione di seno applicata nel triangolo $ AHK $ sappiamo che$ \sin\alpha-135=\dfrac{\sqrt{2}}{2} (\sin \alpha + \cos \alpha)=\frac{AH}{AK}=\frac{12}{13}$. Uguagliando secondo e quarto membro e sostituendo $ \cos=\sqrt{1-\sin^{2}} $ si ottiene un'equazione di secondo grado che ha due soluzioni accettabili che corrispondono ai seni dei due angoli interni acuti ma per ipotesi essendo $ AB $ il cateto minore $ \sin\alpha $ deve essere il maggiore di questi valori cioè $\frac{17\sqrt{2}}{26]}$. Essendo $ ABM $ isoscele su $ AB \widehat{AMB}=180-2\alpha$ ma $ \sin 2\alpha=\sin 180-2\alpha $ quindi con la formula di duplicazione possiamo ottenere $\sin2\alpha=\frac{17*7}{169}$ quindi con la definizione di seno in $ HAM $ si ottiene $ AM=\frac{AH}{\sin2\alpha}=\frac{2028}{119} $
Re: Lunghezza della mediana
Mi sono appena accorto che se non si sostituisce il coseno in funzione del seno e si eleva al quadrato si ottiene $\sin^2+\cos^2 +2\sin\cos=1+2\sin\cos$ cioè l'angolo già duplicato