Lunghezza della mediana

[Nadal21]

Sia $ ABC $ un triangolo rettangolo in $ A $. L'altezza condotta da $ A $ ha lunghezza $ 12 $.
La bisettrice condotta da $ A $ ha lunghezza $ 13 $.
Determinare la lunghezza della mediana condotta da $ A $

[Talete]

Hmm... sarò scemo ma a primo acchito azzarderei che un'idea sarebbe dire: l'altezza condotta da $A$ è la simmediana, dunque è la simmetrica della mediana rispetto alla bisettrice, dunque dai qualcosa si ricava, no?
Sennò facendo conti si risolve, credo

[Nadal21]

Alla simmediana non avevo pensato Vedrò se mi viene fuori qualcosa.
Un pò di conti li ho provati: ma il punto è proprio questo, non era venuto fuori nulla. Ho provato ad usare soprattutto la trigonometria, perché si suggeriva di usarla, ma non mi è venuto fuori nulla di buono

[AlexThirty]

Con un po di passaggi abbastanza semplici dovresti arrivare a dire che
$ mediana=R=\frac{6}{\sin \beta \cdot \sin \gamma} $
Dove $ R $ è il raggio della circonferenza circoscritta e $ \beta, \gamma $ sono gli angoli in $ B, C $, ma da qua non riesco a continuare

[Saro00]

Metto la mia soluzione

Testo nascosto:

Siano $ H $ e $ I $ e $ M $ i piedi dell'altezza e della bisettrice e della mediana rispettivamente.
Dopo ovvi conti di angoli si ottiene $ \angle HOI \cong \angle IAM $, Quindi $ AI $ è bisettrice dell'angolo $ \angle HAM $.
Applicando Pitagora sul triangolo $ \triangle HAI $ otteniamo $ HI = 5 $.
Per il teorema della bisettrice $ \triangle HAM $ si ha che $ \frac{AH}{AM}=\frac{HI}{IM} \iff \frac{5}{12}MA=IM $. Inoltre sappiamo applicando Pitagora sul triangolo $ \triangle HAM $ che $ (HI+IM)^2 + AH^2 = AM^2 \iff (5+IM)^2 +12^2 = AM^2 $.
Abbiamo 2 incognite e 2 equazioni, mettendole a sistema otteniamo che $ AM=\frac{2028}{119}\approx 17,042 $

P.S. Spero di non aver sbagliato i conti

[igoh]

Ho ottenuto la stessa soluzione con un po' di trigonometria e conti
Sia $ AB $ il cateto minore, $ K $ e $ M $ rispettivamente i piedi della bisettrice e della mediana e $\alpha $ l'angolo $\widehat{ABC} $ allora $ \widehat{BKA}=\alpha-135 $ che applicando la formula di addizione fa $ \dfrac{\sqrt{2}}{2} (\sin \alpha + \cos \alpha) $ pero dalla definizione di seno applicata nel triangolo $ AHK $ sappiamo che$ \sin\alpha-135=\dfrac{\sqrt{2}}{2} (\sin \alpha + \cos \alpha)=\frac{AH}{AK}=\frac{12}{13}$. Uguagliando secondo e quarto membro e sostituendo $ \cos=\sqrt{1-\sin^{2}} $ si ottiene un'equazione di secondo grado che ha due soluzioni accettabili che corrispondono ai seni dei due angoli interni acuti ma per ipotesi essendo $ AB $ il cateto minore $ \sin\alpha $ deve essere il maggiore di questi valori cioè $\frac{17\sqrt{2}}{26]}$. Essendo $ ABM $ isoscele su $ AB \widehat{AMB}=180-2\alpha$ ma $ \sin 2\alpha=\sin 180-2\alpha $ quindi con la formula di duplicazione possiamo ottenere $\sin2\alpha=\frac{17*7}{169}$ quindi con la definizione di seno in $ HAM $ si ottiene $ AM=\frac{AH}{\sin2\alpha}=\frac{2028}{119} $

[igoh]

Mi sono appena accorto che se non si sostituisce il coseno in funzione del seno e si eleva al quadrato si ottiene $\sin^2+\cos^2 +2\sin\cos=1+2\sin\cos$ cioè l'angolo già duplicato