Lo Shuriken

Rette, triangoli, cerchi, poliedri, ...
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mpxavi96
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Lo Shuriken

Messaggio da mpxavi96 » 23 ago 2015, 00:50

Lo shuriken è una delle armi di base utilizzate da tutti i mateninja. Quelli del villaggio della Retta hanno un numero variabile di punte, ma sono prodotti tutti dallo stesso fabbro. Per fabbricare uno shuriken a n > 1 punte, il fabbro prende una piastra piana di metallo e inizia tracciandovi due circonferenze concentriche di raggio 9 mat-bu e 31 mat-bu. Sulla maggiore segna 2n punti equidistanti, numerati da 1 a 2n ordinatamente nel senso antiorario; da ciascuno conduce il raggio e segna un punto con lo stesso numero in corrispondenza dell’intersezione con la circonferenza minore. Traccia quindi i segmenti che congiungono ciascun punto pari interno con i due dispari a lui consecutivi esterni (il punto 2n è congiunto con 2n−1 e con 1); infine taglia lungo la spezzata ottenuta. Qual è il più piccolo numero intero, maggiore dell’area (in mat-bu2) di qualunque shuriken?

CapitanFindus
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Re: Lo Shuriken

Messaggio da CapitanFindus » 23 ago 2015, 01:34

la risposta è 16 punte!

provo a dare una risposta dell'1:30 di notte del sabato sera:

la parte geometrica del problema è abbastanza facile, ogni punta infatti è associata a una porzione di area che dipende dall'angolo teta formato dai raggi n+1 e n-1 generici (la punta è n). Chiamati A e B i punti di intersezione di questi due raggi della circonferenza esterna con la circonferenza interna, l'area equivale a $ \frac{AB* R}{2} $ dove AB si trova facilmente con il teorema di carnot rispetto al triangolo ABO (o centro della circ.). Considerando che l'angolo teta equivale all'angolo giro diviso il numero di punte ottengo un espressione del genere

$ A = \sqrt2/2 r(r+R) \sqrt{1 - cos\frac{2\pi}{n}} < n $

risolvendo la disequazione, considerando che il fattore numerico corrisponde a radice di 254,5 il più piccolo numero n che soddisfa la disequazione è radice di 256 che è proprio 16! :wink:

mpxavi96
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Re: Lo Shuriken

Messaggio da mpxavi96 » 23 ago 2015, 03:32

No, ricontrolla bene il procedimento :(
E il problema ti sta chiedendo altro :?

Lev
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Re: Lo Shuriken

Messaggio da Lev » 23 ago 2015, 12:30

Il punto $ E_i $ è l'i-esimo punto esterno e il punto $ I_i $ è l'i-esimo interno.
Il disegno finale è formato da $ 2n $ triangoli del tipo $ OE_{2k+1}I_{2k} $ e $ OE_{2k+1}I_{2k+2} $ tutti congruenti(hanno per lati il raggio piccolo e il raggio grande e l'angolo tra essi compreso uguale perchè insiste su archi uguali).
Guardo il triangolo $ OE_1I_{2n} $. La sua area è $ \frac{r}{R} \cdot [OE_{2n}E_1] $ perchè i due triangoli hanno l'altezza in comune e quindi le loro aree sono proporzionali alle basi.
L'area totale è $ A_{tot}=2n \cdot [OE_1I_{2n}] = \frac{2nr}{R} \cdot [OE_{2n}E_1] $
$ [OE_{2n}E_1] < \frac{\pi R^2}{2n} $ perchè quel triangolo è parte di un settore circolare che ha area pari ad un $ 2n $-esimo dell'area del cerchio.
Allora $ A_{tot} < \pi *31*9 $. Il numero intero cercato è $ \lceil \pi *31*9 \rceil $.

mpxavi96
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Re: Lo Shuriken

Messaggio da mpxavi96 » 23 ago 2015, 13:27

Sì, così torna, è come l'avevo impostato io :D :D

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