Lo Shuriken

[CapitanFindus]

la risposta è 16 punte!

provo a dare una risposta dell'1:30 di notte del sabato sera:

la parte geometrica del problema è abbastanza facile, ogni punta infatti è associata a una porzione di area che dipende dall'angolo teta formato dai raggi n+1 e n-1 generici (la punta è n). Chiamati A e B i punti di intersezione di questi due raggi della circonferenza esterna con la circonferenza interna, l'area equivale a $ \frac{AB* R}{2} $ dove AB si trova facilmente con il teorema di carnot rispetto al triangolo ABO (o centro della circ.). Considerando che l'angolo teta equivale all'angolo giro diviso il numero di punte ottengo un espressione del genere

$ A = \sqrt2/2 r(r+R) \sqrt{1 - cos\frac{2\pi}{n}} < n $

risolvendo la disequazione, considerando che il fattore numerico corrisponde a radice di 254,5 il più piccolo numero n che soddisfa la disequazione è radice di 256 che è proprio 16!

[Lev]

Il punto $ E_i $ è l'i-esimo punto esterno e il punto $ I_i $ è l'i-esimo interno.
Il disegno finale è formato da $ 2n $ triangoli del tipo $ OE_{2k+1}I_{2k} $ e $ OE_{2k+1}I_{2k+2} $ tutti congruenti(hanno per lati il raggio piccolo e il raggio grande e l'angolo tra essi compreso uguale perchè insiste su archi uguali).
Guardo il triangolo $ OE_1I_{2n} $. La sua area è $ \frac{r}{R} \cdot [OE_{2n}E_1] $ perchè i due triangoli hanno l'altezza in comune e quindi le loro aree sono proporzionali alle basi.
L'area totale è $ A_{tot}=2n \cdot [OE_1I_{2n}] = \frac{2nr}{R} \cdot [OE_{2n}E_1] $
$ [OE_{2n}E_1] < \frac{\pi R^2}{2n} $ perchè quel triangolo è parte di un settore circolare che ha area pari ad un $ 2n $-esimo dell'area del cerchio.
Allora $ A_{tot} < \pi *31*9 $. Il numero intero cercato è $ \lceil \pi *31*9 \rceil $.