Pensieri ellittici

[Talete]

Fatto più o meno forse noto. Il titolo è brutto come sempre, ma vabbè:

Sia $ABC$ un triangolo con baricentro $G$, punti medî dei lati $D$, $E$ ed $F$.
Siano $S$, $T$ ed $U$ i simmetrici di $G$ rispetto a $D$, $E$ ed $F$ rispettivamente.

(a) Dimostrare che $A$, $B$, $C$, $S$, $T$ ed $U$ stanno tutti su una stessa ellisse $\mathcal E$.

(b) Dimostrare che $G$ è il punto medio dei due fuochi di $\mathcal E$.

(c) Trovare il luogo $\mathcal L$ dei coniugati isotomici dei punti di $\mathcal E$ (aha! ecco capito tutto!).

[Whov]

Contazzi ingniorantissimi (che non riporto altrimenti vi alluviono):
a)
A(0, 0)
B(x1, 0)
C(x0, y0)
D((x0+x1)/2, y0/2)
E(x0/2, y0/2)
F(x1/2, 0)
G((x0+x1)/3, y0/3)
//formula inversa del punto medio
T((2x0-x1)/3, 2y0/3)
S(2(x0+y0)/3, 2y0/3)
U((2x1-x0)/3, -y0/3)
ellisse: $ x^2+ey^2+dxy+ax+by+c=0 $
Deve passare per A, B, C, U, S; da cui
ellisse: $ \frac{\left( x0\,x1-{x1}^{2}\right) \,y}{y0}+\frac{x\,\left( x1-2\,x0\right) \,y}{y0}+\frac{\left( {x1}^{2}-x0\,x1+{x0}^{2}\right) \,{y}^{2}}{{y0}^{2}}-x\,x1+{x}^{2}=0 $
Che verifica anche T:
$ \frac{4\,\left( {x1}^{2}-x0\,x1+{x0}^{2}\right) }{9}+\frac{2\,\left( x0\,x1-{x1}^{2}\right) }{3}+\frac{2\,\left( 2\,x0-x1\right) \,\left( x1-2\,x0\right) }{9}-\frac{\left( 2\,x0-x1\right) \,x1}{3}+\frac{{\left( 2\,x0-x1\right) }^{2}}{9} $
si riduce a 0. Tesi
b) La matrice della conica è
$ \begin{pmatrix}1 & \frac{x1-2\,x0}{2\,y0} & -\frac{x1}{2}\cr \frac{x1-2\,x0}{2\,y0} & \frac{{x1}^{2}-x0\,x1+{x0}^{2}}{{y0}^{2}} & \frac{x0\,x1-{x1}^{2}}{2\,y0}\cr -\frac{x1}{2} & \frac{x0\,x1-{x1}^{2}}{2\,y0} & 0\end{pmatrix} $
(Ricordo che i coefficienti di x, y, xy vanno dimezzati)
Il centro è il punto x, y che risolve
e la soluzione è il punto ((x0+x1)/3, y0/3), che coincide con G.
c) da fare

[Talete]

Non ti sto a controllare i conti, però se viene è giusto

Il punto c è quello da cui sono partito, se si risolve quello credo si capisca il perché dell'esercizio

[Whov]

Le tre rette che dovrebbero definire il coniugato isotomico sono parallele se il punto da trasformare appartiene all'ellisse di Steiner. Provarlo con le cartesiane temo sarebbe un lavoro improbo, invece sembra (da wikipedia) che in trilineari sia molto semplice; potrei provare a trovare l'equazione in coordinate omogenee. Sarà per posdomani però
EDIT: o forse è ancora più facile in sintetica con una affinità?

[EvaristeG]

Beh, se proprio si vuole usar le cartesiane, bisogna fare i fighi, ma, per pudicizia, lo si fa di nascosto.

Testo nascosto:

Fissiamo un sistema di coordinate cartesiane a caso, con centro in $G$. Esiste un'unica affinità $\mathcal{F}$ che porta $ABC$ nel triangolo equilatero $(1,0)$, $(\cos(2\pi/3), \sin(2\pi/3))$, $(\cos(4\pi/3), \sin(4\pi/3))$; del resto, il baricentro è invariante per affinità, quindi $G$ va nel baricentro del triangolo equilatero detto, che è $(0,0)$. Dunque $G$ rimane fermo.
Ora, $G$ è anche ortocentro del nuovo triangolo. I suoi simmetrici rispetto ai punti medi dei lati di $ABC$ vanno tramite $\mathcal{F}$ nei simmetrici di $G$ rispetto ai punti medi dei lati dell'equilatero.
Quindi $A$, $B$, $C$, $S$, $T$, $U$ vanno, in qualche ordine, nei punti $(\cos(k\pi/3), \sin(k\pi/3))$ con $k=0,\ldots, 5$. Tali punti stanno sulla circonferenza unitaria e la controimmagine di una circonferenza di centro l'origine tramite un'affinità che fissa l'origine è un'ellisse di centro l'origine.
Infine, il coniugato isotomico è un concetto invariante per affinità; il coniugato isotomico e il coniugato isogonale coincidono in un triangolo equilatero e dunque il coniugato isotomico dell'ellisse è la controimmagine tramite affinità del coniugato isogonale della circoscritta. Quest'ultimo è la retta all'infinito che è fissata da ogni affinità. Dunque il coniugato isotomico dell'ellisse suddetta è la retta all'infinito.

[Whov]

Sì, avevo giusto letto qualcosa del genere in inglese poco fa, ma non sono ancora molto pratico di affinità e coniugati isotomici (anche se questo esercizio mi ha incuriosito molto!). Comunque a quel punto si fa in sintetica e basta, che cartesiane . Cosa suggerisci per far pratica (o per studiarne la teoria)? Video Senior?

[EvaristeG]

Beh, o in G2 o in G3 le trasformazioni del piano si fanno (la loro collocazione è cambiata col tempo ma ...). E poi, old but gold dal buon Cammi (già di recente citato da darkcrystal da qualche altra parte).
Per i coniugati isotomici, boh, alla fine non si vedono quasi mai.

[Whov]

Grazie!